Группа 3. Аксиомы конгруэнтности

Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.

13. Пусть дан отрезок АВ а также прямая а^/ и точка . точка с заданной стороны относительно точки такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку (обозначим это АВ=АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.

14.

15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , АВ ВС=В, тогда
и лежит между и .

16. Пусть Ð есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее луча можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от один и только один, второй луч такой, что Ð .

Требуется также, чтобы Ð (угол конгруэнтен самому себе) и Ð

17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что , , тогда .

На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между
А и С.

В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).