Нелинейные уравнения и их линеаризация. Оценки производственных функций Кобба-Дугласа

Нелинейные уравнения – это уравнения вида f(x)=0, где f(x) – нелинейная функция. Решение уравнения f(x)=0 сводится к поиску таких значений х* (корней уравнения), которые превращают уравнение в тождество.

Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

Теория производственных функций была разработана американскими учёными Д. Коббом иП. Дугласом.

Эти учёные предложили одну из наиболее известных разновидностей производственных функций, носящей название функции Кобба-Дугласа.

1. Общий вид функции Кобба-Дугласа:

где а – числовой параметр производственной функции;

xi – i-тый аргумент или i-ый фактор производственной функции;

ai – показатель степени i-го аргумента.

Наиболее часто применяется двухфакторная форма функции Кобба-Дугласа f(K,L):

Q=A*Ka*Lβ,

где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);

K – объём основного капитала или основных фондов;

L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).

A,a,β – неизвестные числовые параметры производственной функции, которые подчиняются условиям:

0≤а≤1;

0≤β≤1;

A›0;

a+β=1.

На основании четвёртного условия a+β=1, функция Кобба-Дугласа может быть представлена в виде:

Q=A*Ka*L1-а.

Данная производственная функция позволяет объяснить уровень совокупного выпуска Q количествами затраченного капитала K и труда L основных факторов производства.

ОГРАНИЧЕНИЯ:

объём выпускаемой продукции увеличивается при постоянном значении одного из факторов и росте другого фактора. Однако если один из факторов производства фиксирован, а другой фактор возрастает, то каждая дополнительная (предельная) единица возрастающего фактора менее полезна (с точки зрения прироста выпуска продукции), чем предыдущая единица.

при фиксированном значении одного из факторов последовательное увеличение другого фактора будет приводить к сокращению прироста значения Q.

каждый из факторов производства необходим в том смысле, что если один из факторов равен нулю (K=0 или L=0), то и объём производства также равен нулю Q=0.

При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), и соответствующими оценками.

3) Введем векторы и матрицу

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

Оценка s2 определяется по формуле

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

, где .

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.