Решение. 1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две данные точки

1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

. (2)

подставляя координаты точек А и В, получим уравнение прямой (АВ)

или

или

.

Из последнего равенства получим:

- уравнение стороны (АВ).

Аналогично получим уравнение прямой (АС)

или

.

Из последнего равенства получим:

- уравнение стороны (АС).

Длину стороны (АВ) вычислим по формуле (1)

.

2. Уравнение стороны (АВ): запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом (), т.е. . Тогда .

Так как высота (СД) перпендикулярна (АВ), то .

Для составления уравнения прямой (СД) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с известным угловым коэффициентом:

	y – y 0 = k (x – x 0).

(3)

Подставляя в это уравнение координаты точки С (20; 16) вместо (х ₀; y ₀) и учитывая, что , получим

у – 16 = (х – 20)

или

.

- уравнение высоты (СД).

Длину высоты (СД) можно найти по формуле расстояния от точки (х ₀; y ₀) до прямой

(4)

Подставляя координаты точки С (20; 16) найдём расстояние от этой точки до прямой (АВ), т.е. длину высоты:

.

3. Найдём координаты точки М. Так как М – середина отрезка , то

Уравнение медианы (АМ) составим по формуле (2):

или

Þ

или

.

- уравнение прямой (АМ).

4. Точку N пересечения медианы (АМ) и высоты (СД) найдём, решив совместно систему их уравнений

Первое уравнение системы умножим на (-4) и прибавим ко второму

Таким образом, N (11; 4).

5. Составим уравнение прямой (L), проходящей через вершину С (20; 16) параллельно стороне (АВ).

Так как (L) ÷÷ (АВ), то и уравнение прямой (L) можно составить по формуле (3)

y – 16 = (x – 20)

или

4 y – 64 = -3 x + 60

или

3 x + 4 y – 124 = 0 – уравнение прямой (L).

6. В пункте 1) найдено уравнение прямой (АС): . Найдём расстояние от точки В (16; -6) до стороны (АС)

.

7. Угол при вершине А найдём по формуле угла между двумя прямыми:

(5)

Пусть в нашем случае , тогда

З а м е ч а н и е. Угол между двумя прямыми заданными общими уравнениями можно найти по формуле:

.

(АВ): 3 x + 4 y – 24 = 0 Þ ,

(АС): 13 x - 16 y – 4 = 0 Þ ,

8. Прямая (АВ) перпендикулярна (СД). Поэтому искомая точка Р расположена симметрично точке А относительно (СД) и лежит на прямой (АВ). Кроме того точка Д является серединой отрезка [ АР ].

Найдём координаты точки Д, решив совместно систему уравнений прямой (АВ) и высоты (СД)

Таким образом, Д (8; 0).

Применяя формулы деления отрезка на равные части, найдём координаты точки Р

Таким образом, точка симметричная точке А относительно прямой (СД) есть точка Р (12; -3).

Задание № 3. Найти координаты центра и радиус окружности x ² + y ² – 6 x + 4 y – 3 = 0. Выполнить чертёж.