Философское значение неевклидовой геометрии

Рассмотрим подробнее две неевклидовы геометрии. В геометрии Лобачевского, которую на специальном языке называют гиперболической геометрией, имеется бесконечное множество параллельных. В римановой геометрии, известной как эллиптическая геометрия, параллельные отсутствуют вообще.

Две неевклидовы геометрии могут также различаться по сумме углов треугольника. Это различие важно с точки зрения эмпирических исследований структуры пространства.

Геометрия Лобачевского характеризуется тем, что в любой точке плоскости мера кривизны плоскости отрицательна и постоянна. Существует бесчисленное множество различных геометрий Лобачевского, каждая из которых характеризуется некоторым фиксированным параметром — отрицательным числом, — то есть мерой кривизны плоскости в этой геометрии.

Геометрия Лобачевского, модель которой представлена седловидной поверхностью, может быть охарактеризована следующим образом: для любого пространства Лобачевского имеется некоторое отрицательное значение, являющееся мерой кривизны в любой точке плоскости такого пространства. Геометрия Римана, представленная сферической поверхностью, может быть охарактеризована сходным путем: для любого риманова пространства имеется некоторое положительное значение, являющееся мерой кривизны для любой точки плоскости такого пространства. Оба пространства являются пространствами постоянной кривизны. Это значит, что для любого такого пространства мера кривизны в любой точке плоскости остается той же самой.

Эйнштейн использовал неевклидовы геометрии в своей общей теории относительности. В результате этого они перестали быть только объектом чистой математики и вошли в область физики, где стали использоваться для описания действительного мира.

Риман сначала построил свою геометрию постоянной положительной кривизны, она была названа римановой, чтобы отличить ее от ранее введенного пространства Лобачевского, в котором постоянная кривизна отрицательна. Позднее Риман разработал обобщенную теорию пространств с изменяющейся кривизной — пространств, которые не рассматривались аксиоматически.

В общей римановой теории может рассматриваться любое число измерений, и во всех случаях кривизна может меняться от точки к точке. Ообобщенная риманова геометрия содержит огромное многообразие пространств с изменяющейся кривизной. Среди этих пространств находится и пространство Эйнштейна, принимаемое в его общей теории относительности.