Свойства дифференциала

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной величины равен нулю:

(20)

Если у = с, где с = const, то у' = 0; формула (18) принимает вид (20).

2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифферен­цируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифферен­циалов слагаемых

(21)

В самом деле,

Следствие. Если две дифференцируемые функции отли­чаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

(22)

Формула (22) следует из формул (21) и (20).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функ­ций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой, т. е.

(23)

Действительно,

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

(24)

Формула (24) следует из формул (23) и (20).

4. Дифференциал частного двух дифференцируемых функций и - и(х) и v = v (x) определяется формулой

(25)

В самом деле,

5. Дифференциал сложной функции (функции от функции) ра­вен произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Если - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции выражается формулой

По определению С учетом предыдущей формулы получаем

(26)