Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка М₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ¹ 0). Обозначим через А₁ и b ₁проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим векторА₁В₁

Проекцией вектора АВ на ось l называет ся положительное число |A ₁B ₁ |, есливектор А ₁В ₁ и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A ₁B ₁ |, если вектор А ₁В₁ и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a₁и b ₁совпадают (А ₁В ₁ =0), то проекция вектора АВ равна 0.

Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр _l АВ. Если АВ=0 или АВ^l, то пр_l АВ=0.

Угол j между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,0£j£p

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Свойство 1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора aна косинус угла j между вектором и осью, т. е. пр_la =|a |•cos j.

Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), есливектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

Свойство 3. При умножении вектора а на число А его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i, j, k соответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конецвектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁, М₂и Мз.Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_z а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM.

А так как M ₁N=OM ₂, NM =ОМз, то

а=ОМ ₁ + ОМ ₂ + ОМ₃ (5.1)

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM ₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

a=a_xi+a_yj+a_zk (5.3)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называетсяразложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: a = (a_x;a_y;a_z).

Равенство b = (b_x;b_y; b_z) означает, что b = b _х•i +b _у • j + b_z • k. Зная проекциивектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны a,b,g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора e являются числа

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.