Критерий подобия по влиянию силы тяжести

Величина силы тяжести элементарного объема жидкости

.

(3.7)

Если существует динамическое подобие, то согласно уравнению (2.13) отношение величин сил тяжести любых соответственных объемов жидкости в соответственные моменты времени будет одинаково и равно масштабу сил :

или с учётом (3.7) и (2.14)

.

Из геометрического подобия следует, что

.

После такой замены предыдущее равенство примет вид

.

Выполнив соответствующие сокращения, получим

.

Отсюда находим для двух подобных явлений равенство в соответственных точках следующих безразмерных комбинаций:

.

Безразмерная комбинация называется числом Фруда:

.

(3.8)

Итак, при соблюдении подобия по влиянию силы тяжести справедливо равенство чисел Фруда в соответственных точках потоков:

.

Следовательно, необходимым условием подобия по влиянию силы тяжести жидкости является равенство чисел Фруда, подсчитанных по параметрам, определяющим данное явление:

(3.9)

или

.

(3.10)

Число – критерий подобия по влиянию силы тяжести жидкости.

В таком виде критерий подобия по числу Фруда следовало бы применять при испытаниях моделей кораблей. Но сопротивление корабля складывается из двух составляющих: сопротивления трения и волнового сопротивления, которое обусловлено потерями энергии на образование волн возмущения на свободной поверхности воды. Если размер модели в 100 раз меньше размера корабля, то, чтобы обеспечить равенство чисел Фруда для модели и корабля, скорость модели должна быть в 10 раз меньше, чем для корабля. Если использовать ту же жидкость, то для обеспечения равенства чисел Рейнольдса скорость должна быть в 100 раз больше, чем для корабля. Практически это осуществить нельзя. Поэтому волновое сопротивление определяют экспериментально с выполнением подобия по числам Фруда, а трение – по эмпирическим формулам.

Если в весомой жидкости свободной поверхности нет, то закон подобия сильно упрощается. Уравнение движения весомой вязкой жидкости записывается так:

(считается, что ось направлена вертикально вверх).

Если вместо давления ввести новую величину

,

то

.

Уравнение движения в этом случае записывают в виде

,

в котором сила тяжести исключена. При наличии свободной поверхности этот искусственный приём не дал бы результата, так как на свободной поверхности должно выполняться граничное условие, в которое входит не величина , а величина .

В данном случае внешняя сила исключена, следовательно, условие (3.9) больше не реализуется и можно не требовать выполнения равенства чисел Фруда. Таким образом, сформулируем закон подобия, открытый Осборном Рейнольдсом:

Для вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил или при действии сил тяжести, но при отсутствии свободных поверхностей два течения, обладающие одинаковыми числами Рейнольдса, являются подобными.

Подобие по числам Фруда необходимо выдерживать при изучении следующих явлений:

1. При относительно большой вертикальной скорости полёта ЛА (крутое снижение или подъём ЛА, вертикальные манёвры, штопор и др.).

В этом случае изменение потенциальной энергии положения для частиц воздуха соизмеримо с изменением других видов энергии.

2. При изучении плавания и глиссирования судов.

При исследовании таких явлений число Фруда – важнейший критерий подобия, влияющий на все характеристики движения.

3. При изучении волнового движения на поверхности жидкости.

Влияние числа Фруда на характер волнового движения жидкости удобно проследить, сравнивая волны, образующиеся в водоёмах различных размеров (с разной характерной длиной ). Так, только в океанах с характерной длиной , соответствующей тысячам километров, структура волн позволяет кататься на серфингах, а, к примеру, в Чёрном море такие волны не возникают. Волны Азовского моря, с одной стороны, отличаются от черноморских, а с другой – от волн в искусственных водохранилищах, которые в свою очередь отличаются от волн в лужах.

4. При изучении движения жидкости в гидроканалах.

Для соблюдения подобия по числу Фруда с уменьшением размеров модели необходимо уменьшать скорость потока. В этом заключается преимущество гидроканалов перед аэродинамическими трубами.