Лабораторная работа №1
Вариационные ряды распределения.
Полигон и гистограмма частот.
Раздел математики, посвящённый методам сбора анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей, называемой математической статистикой. Целью статистического исследования является обнаружение и исследование соотношений между статистическими данными, и их использование для изучения, прогнозирования и принятия решений.
В реальности данные представляют собой пассивные наблюдения за происходящем процессом. Результаты наблюдений, в общем случае, ряд чисел, расположенных в беспорядке, которые для изучения необходимо упорядочить (проранжировать).
Операция, заключенная в расположении значений признака по не убыванию, называется ранжированием опытных данных.
После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и тоже значение, которое называется вариантом . Число элементов в каждой группе называется частотой варианта .
|
|
Размахом выборки называется число , где – наибольший вариант, – наименьший вариант.
Сумма всех частот равна определённому числу n, которое называется объемом совокупности:
Отношение частоты данного варианта к объему совокупности называется относительной частотой :
Последовательность вариант, расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.
Вариационные ряды бывают дискретными и непрерывными. Дискретным вариационным рядом называется ранжированная последовательность вариант с соответствующими частотами.
Пример 1.1. В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы:
4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0, 3, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 2.
Построить дискретный вариационный ряд.
Решение. Проранжируем исходный ряд посчитаем частоту вариант. В результате получим дискретный вариационный ряд (табл. 1.1)
Таблица 1.1 | ||
Балл, | Число студентов, | Относительная частота, |
6/24 | ||
7/24 | ||
3/24 | ||
5/24 | ||
3/24 | ||
Сумма |
Построение дискретного вариационного ряда нецелесообразно, если число значений признака велико или призрак является непрерывным, то есть может принимать любое значение в пределах некоторого интервала. В этом случае стоит построить интервальный вариационный ряд. Для построения такого ряда промежуток изменения признака разбивается на ряд отдельных интервалов и подсчитывается количество значений величины в каждом из них.
Будем считать, что отдельные (частичные) интервалы имеют одну и ту же длину. Число интервалов , в случае нормально распределённой совокупности, можно определить по формуле Стерджесса
|
|
Длина частичного интервала определяется по формуле
Пример 1.2. Пусть дан ряд распределения хозяйств по количеству килограмм пестицидов на 100га с/х угодий (n=60):
Построить интервальный вариационный ряд.
Решение. Для определения числа групп подставим значение n=60 в формулу Стерджесса
Найдем длину частичного интервала
Построим интервальный вариационный ряд, для этого в качестве начального значения используем . Разобьем интервал вариации признака X на k=7 частичных интервалов с шагом h=1,6 и получим количество пестицидов на 100 га сельскохозяйственных угодий в каждом интервале (табл. 1.2).
Таблица 1.2 | ||
Группа хозяйств по количеству килограмм пестицидов на 100га с/х угодий | Число хозяйств в группе | Относительная частота |
[4; 5,6) | 6/60 | |
[5,6; 7,2) | 17/60 | |
[7,2; 8,8) | 8/60 | |
[8,8; 10,4) | 16/60 | |
[10,4; 12,0) | 10/60 | |
[12,0; 13,6) | 1/60 | |
[13,6; 15,2) | 3/60 | |
Итого |
Замечание. Если количество значений в одном интервале менее 3-5, то обычно объединяют соседние интервалы, переходя к рядам с неравными интервалами или уменьшают число интервалов.
Вариационные ряды изображают графически с помощью полигона частот и гистограммы.
Полигон частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки
Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки
Пример 1.3. Для примера 1.1. построить полигон частот и полигон относительных частот.