Задание. Схема расчета по методу Гаусса Коэффициенты при неизвестных Свободные члены Контрольные суммы S X1 X2

Схема расчета по методу Гаусса

Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены	Контрольные суммы S
X1	X2	X3	X4
a11	a12	a13	a14	a15	c1
a21	a22	a23	a24	a25	c2
a31	a32	a33	a34	a35	c3
a41	a42	a43	a44	a45	c4
	a 12	a13	a 14	a 15	b1
	a22 I	a23 I	a24 I	a25 I	c2 I
	a32 I	a33 I	a34 I	a35 I	c3 I
	a42 I	a43 I	a44 I	a45 I	c4 I
		a 23	a 24	a 25	b2
		a33 11	a34 11	a35 11	c3 11
		a43 11	a44 11	a45 11	c4 11
			a 34	a 35	b3
			a44 111	a45 111	c4 111
				a 45	b4
				x 4	x 4
				x 3	x 3
				x 2	x 2
				x 1	x 1

Таблица 2.2

Вычислительные формулы и контрольные соотношения

Вычислительные формулы	Контрольные соотношения

Таблица 2.3

Таблица расчетов системы уравнений

2.3. Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера с использованием приложения MS Еxcel

Постановка задачи. Решить заданную систему из 4 линейных уравнений методом Крамера с точностью до 0,0001. Выполнить проверку полученных результатов

Выполнение. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Вид окна решения СЛАУ методом Крамера

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций.

В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций.

Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге, содержит поле ввода Массив. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),
I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 – вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

2.4. Пример решения системы линейных уравнений
методом обратной матрицы с использованием
приложения MS Еxcel

Постановка задачи. Решить заданную систему из 4 линейных уравнений методом обратной матрицы с точностью до 0,0001. Выполнить проверку полученных результатов.

Выполнение. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

.

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Введенные матрицы А и В

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b –
в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Выделим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9.

Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, перейдём ко второму шагу мастера функций.

В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив, в нашем случае B1:E4.

В первой ячейке, выделенного диапазона под обратную матрицу появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид, изображенный на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Последовательность вычислений

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9.

Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ. В поле Массив1 вводим диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 – ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).

В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9) так, как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид, изображенный на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Вычисления при помощи метода обратной матрицы

Задание

1. Используя схему Гаусса, решить систему из 4 линейных уравнений методом Гаусса с точностью до 0,0001. Выполнить проверку полученных результатов.

2. Решить систему из 3 линейных уравнений методом Крамера, с помощью метода обратной матрицы. При решении систем обязательно выполнить проверку.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных уравнений?

2. Каким методом лучше всего решать систему уравнений невысокого порядка, например третьего?

3. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем линейных уравнений?

4. Можно ли получить решение системы высокой размерности с погрешностью не хуже заданной?

5. Каким образом в методе Гаусса можно контролировать накопление вычислительных ошибок?

6. К точным или приближенным методам относится метод Крамера?

ВАРИАНТЫ

Вариант № 1

1) 2)

Вариант № 2

1) 2)

Вариант № 3

1) 2)

Вариант № 4

1) 2)

Вариант № 5

1) 2)

Вариант № 6

1) 2)

Вариант № 7

1) 2)

Вариант № 8

1) 2)

Вариант № 9

1) 2)

Вариант № 10

1) 2)

Вариант № 11

1) 2)

Вариант № 12

1) 2)

Вариант № 13

1) 2)

Вариант № 14

1) 2)

Вариант № 15

1) 2)

Вариант № 16

1) 2)

Вариант № 17

1) 2)

Вариант № 18

1) 2)

Вариант № 19

1) 2)

Вариант № 20

1) 2)

Вариант № 21

1) 2)

Вариант № 22

1) 2)

Вариант № 23

1) 2)

Вариант № 24

1) 2)

Вариант № 25

1) 2)

Вариант № 26

1) 2)

Вариант № 27

1) 2)

Вариант № 28

1) 2)

Вариант № 29

1) 2)

Вариант № 30

1) 2)