Пример выполнения лабораторной работы. Пусть интенсивность потока заявок λ = 1,5 час-1, интенсивность обслуживания заявки μ = 1,5 час-1

Пусть интенсивность потока заявок λ = 1,5 час^-1, интенсивность обслуживания заявки μ = 1,5 час^-1. Определить сколько необходимо иметь обслуживающих органов, чтобы готовность системы была К _г = 0,8; 0,9; 0,95; 0,997. Процедура решения задачи имеет вид:

В строках #1 и #2 задаются составляющие трансцендентного уравнения (7.1). В строке #3 образована сумма выражения #2 с помощью кнопки Find Sum панели инструментов. В строке #4 записано конечное уравнение, полученное от введения выражения р = #1/#3. В строке #5 приведено трансцендентное уравнение, полученное в результате подстановки в уравнение (7.1) численных значений исходных данных λ = 1,5 час^-1, μ = 1,5 час^-1, р = 0,2 с помощью кнопки Variable Substitution.

Результаты решения при заданных значениях вероятности К _г приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Результаты определения числа обслуживающих органов

К г	0,8	0,9	0,95	0,997
n	4,6	5,7	6,6	9,5

Из физических соображений ясно, что результаты определения числа обслуживающих органов n должны быть округлены до ближайшего целого в сторону увеличения.

Полученные решения будут иметь смысл лишь в том случае, если длительность переходных процессов мала. В противном случае результаты могут быть существенно завышены.

Исследуем длительность переходных процессов на основании анализа функции готовности К _г(t).

Процедура решения задачи с помощью системы Derive 5 имеет вид:

В строке #1 находится отклик настройки системы на прием переменных с индексами (пункт главного меню Declare │Input).

В строках #2−#4 задается система дифференциальных уравнений (правые части) для случая n = 2.

Вызов утилиты ODE_APPR.MTH решения отражен в строке #5. В строке #6 вызывается функция:

RK([#2,#3,#4], [t,p0,p1,p2], [0,1,0,0], 0.1, 50)

решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге−Кутты с шагом h = 0,1 и числом точек 50. Уравнения представлены в аналитическом виде. В строке #7 вызывается функция RK с численными значениями λ = 1,5 час^-1 и μ = 1,5 час^-1 и начальными условиями р ₀(0) = 1, р ₁(0) = р ₂(0) = 0.

Результаты решения системы уравнений приведены в таблице в строке #8 в диапазоне t = 1,7 2,5 час. Из таблицы видно, что длительность переходного процесса составляет примерно 2,4 часа, вычисленного с точностью четыре знака после запятой. Так как длительность переходных процессов мала, то данные табл. 7.1 можно считать достоверными.

Функцию готовности целесообразно вычислить, воспользовавшись выражением К _г(t) = 1− p _n(t). В этом случае достаточно вычислить вероятность того, что система находится в состоянии n в произвольный момент времени t.

Для получения решения в аналитическом виде воспользуемся преобразованием Лапласа.

Процедуры вычисления функции простоя с помощью системы Derive 5 имеют вид:

В строках #2, #3, #4 представлены уравнения в преобразованиях Лапласа.

В строке #5 отображается система уравнений, образованная кнопкой Author Matrix.

Решение системы уравнений получено с помощью функции SOLVE (строка #6) и представлено в строке #7. Из общего решения выделено выражение для преобразования Лапласа коэффициента простоя p ₂(s) (строка #8).

С помощью пункта главного меню Simplify│Factor выражение p ₂(s) факторизовано по переменной х для получения решения в привычном для нас виде (строка #9).

В строке #10 находится выражение преобразование Лапласа коэффициента простоя при исходных данных нашего примера λ = 1,5 час^-1 и μ = 1,5 час^-1.

Подстановка выполнена с помощью кнопки Sub панели инструментов.

В строке #11 находится выражение функции простоя, полученное путем обратного преобразования Лапласа выражение #10 с помощью математической системы Mathcad 2000.

График функции p ₂(t) приведен на рис. 7.3.

Рис. 7.3. График функции простоя системы

Выполнить анализ надежности информационной восстанавливаемой системы, определив:

Ø n – необходимое число обслуживающих органов, обеспечивающих заданный коэффициент готовности системы;

Ø τ – длительность переходных процессов;

Ø К _г(t) – функцию готовности системы.

Использовать приведенную ранее методику и компьютерные технологии решения задачи.

При определении числа обслуживающих бригад могут возникнуть следующие трудности:

· программа выдает решение, которое противоречит физическому смыслу задачи;

· программа не выдает значение n.

В таких случаях следует попытаться решить трансцендентное уравнение, указав область изоляции корня. Если это также не даст результата, то следует функцию (7.1) протабулировать в области искомого корня и по результатам табулирования найти n (по равенству левой и правой частей уравнения (7.1)). Далее приводятся варианты заданий. В таблицах P _отк – вероятность отказа в обслуживании заявки.

ВАРИАНТ 1

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 2

λ, час-1
μ, час-1	0,2	0,5
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 3

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 4

λ, час-1				0,5
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 5

λ, час-1
μ, час-1	0,5
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 6

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 7

λ, час-1				0,5
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 8

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 9

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003

ВАРИАНТ 10

λ, час-1
μ, час-1
P отк	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003	0,2; 0,1; 0,05; 0,003