Полюса и нули

Многие динамические свойства системы (например, быстродействие, перерегулирование) определяются полюсами передаточной функции (или, что то же самое, собственными числами матрицы модели в пространстве состояний).

Передаточную функцию можно записать как произведение передаточных функций элементарных звеньев первого и второго порядков. Таким образом, множество полюсов передаточной функции устойчивой системы составляют полюса передаточных функций двух типов простейших звеньев: апериодических и колебательных.

Апериодическое звено с передаточной функцией вида имеет единственную характеристику – постоянную времени . Начиная примерно с частоты[4] , АЧХ такого звена начинает убывать, приближаясь к нулю.

Колебательное звено имеет передаточную функцию , где – постоянная времени и . Частота называется собственной частотой (natural frequency), а параметр – параметром затухания или коэффициентом демпфирования (damping factor). При уменьшении импульсная и переходная функции приобретают ярко выраженный колебательный характер, а на АЧХ появляется «горб» в районе частоты . В предельном случае при колебания становятся незатухающими, а звено называется консервативным. С другой стороны при корни знаменателя становятся вещественными, и звено превращается в апериодическое звено второго порядка.

Для нахождения полюсов передаточной функции f можно использовать функцию

>> p = pole (f)

Вызов функции

>> [w0,zeta,p] = damp (f)

позволяет найти не только полюса p, но также соответствующие им собственные частоты w0 и коэффициенты демпфирования zeta в виде массивов.

Нули передаточной функции f вычисляются как

>> z = zero (f);

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они существенно влияют на переходные процессы. Команда

>> pzmap (f);

строит карту расположения нулей (они обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости.