Метод простых итераций. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

х = j(х) (14)

Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение

х³ - 9х + 3 = 0

можно представить так:

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х₀ в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х₁ = j(х₀). В качестве второго приближения берут х₂ = j(х₁). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (х_n), определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1 = j(x_n), (n = 0, 1, 2,...) (15)

Полученная последовательность х₀, х₁,..., x_n, x_n+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (х_n) к решению х^* уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (х_n) сходится, то есть существует предел то, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция j(х) непрерывна, получаем:

или x^* = j(x^*). (16)

Следовательно, в этом случае х = х^* является корнем уравнения х = j(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.

Если же последовательность (х_n) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (х_n), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:

½j‘(x)½ £ M₁ < 1 (18)

для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М₁; если же ½j‘(x)½ > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m₁, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М₁ = max½j‘(x)½, где max берется по отрезкуизоляции корня [а: b].