Ход работы
1. =37,67, =10,81, =116,958; = 19,61, = 6,26, = 39,174.
2. Найдем условные средние и , запишем их в таблицу
Таблица 10'
Корреляционная таблица с условными средними и
Y/X | X1 16.2 | X2 22.57 | X3 28.94 | X4 35.31 | X5 41.68 | X6 48.05 | X7 54.42 | X8 60.8 | ny | |
= 2.9 | - | - | - | - | - | - | - | 54,42 | ||
= 7.14 | - | - | - | - | 49,65 | |||||
= 11.38 | - | - | - | 46,99 | ||||||
= 15.62 | - | 41,68 | ||||||||
= 19.86 | - | 33,19 | ||||||||
= 24.1 | - | - | - | 35,01 | ||||||
= 28.34 | - | - | - | 33,19 | ||||||
= 32.6 | - | - | - | - | - | - | 28,94 | |||
nx | ||||||||||
23,05 | 20,39 | 23,46 | 21,66 | 17,88 | 16,47 | 12,44 | 14,56 |
3. На корреляционном поле (таблица 2, лабораторная работа № 1) строим эмпирическую линию регрессии
4. Найдем эмпирический исправленный корреляционный момент по формуле
, заполнив таблицу для подсчета :
Таблица 11
хi | yj | хi yj | хi | yj | хi yj | ||
16,2 | 15,62 | 253,044 | 41.68 | 11.38 | 1897,274 | ||
16,2 | 19,86 | 321,732 | 41.68 | 15.62 | 2604,166 | ||
16,2 | 24,1 | 390,42 | 41.68 | 19.86 | 2483,294 | ||
16,2 | 32,6 | 528,12 | 41.68 | 24.1 | 3013,464 | ||
22,57 | 15,62 | 352,5434 | 41.68 | 28.34 | 1181,211 | ||
22,57 | 19,86 | 2689,441 | 48.05 | 7.14 | 343,077 | ||
22,57 | 28,34 | 639,6338 | 48.05 | 11.38 | 1093,618 | ||
28,94 | 15,62 | 904,0856 | 48.05 | 15.62 | 5253,787 | ||
28,94 | 19,86 | 3448,49 | 48.05 | 19.86 | 2862,819 | ||
28,94 | 24,1 | 3487,27 | 48.05 | 24.1 | 2316,01 | ||
28,94 | 28,34 | 5741,117 | 54.42 | 2,9 | 157,818 | ||
35.31 | 7.14 | 252,1134 | 54.42 | 7.14 | 388,5588 | ||
35.31 | 11.38 | 803,6556 | 54.42 | 11.38 | 1238,599 | ||
35.31 | 15.62 | 1103,084 | 54.42 | 15.62 | 2550,121 | ||
35.31 | 19.86 | 4908,796 | 54.42 | 19.86 | 1080,781 | ||
35.31 | 24.1 | 8509,71 | 60.8 | 7.14 | 434,112 | ||
35.31 | 28.34 | 2001,371 | 60.8 | 11.38 | 1383,808 | ||
35.31 | 32.6 | 2302,212 | 68919,36 |
= = -50,02.
|
|
5. Находим теперь эмпирический коэффициент корреляции:
- 0,74.
6. Проверим гипотезу Но: признаки Х и У - независимы друг от друга и коэффициент корреляции R = 0. Выясним, существенно ли отличается от нуля рассчитанный эмпирический коэффициент корреляции .
6.1. значение статистики =-16,28;
6.2. находим =1,99 (k=n- 2) [2, приложение 6, с.466];
6.3. получили, что , а значит гипотеза Но - неверна, эмпирический коэффициент корреляции существенно отличен от нуля. Принимаем альтернативную гипотезу Н1: в генеральной совокупности коэффициент корреляции не равен нулю и Х и У – линейно зависимы.
7. Найдем тогда уравнение линейной зависимости признаков: рассчитаем эмпирические коэффициенты линейной регрессии У на Х (или Х на У) :
=-0,43;
=35,75;
,
аналогично , где
=1,28;
=12,61;
.
8. Проверим теперь значимость уравнения регрессии У на Х:
8.1. =17,9,
8.2. статистика =2,19.
Аналогично для проверки гипотезы значимости уравнения регрессии Х на У:
|
|
=53,17;
=2,20.
8.3. Значение = 1,3 ( =99, =98).
8.4. и , значит, гипотеза принимается, т.е. уравнение и уравнение статистически значимо описывает результаты эксперимента.
9. Найдем интервальные оценки коэффициента корреляции R и коэффициента линейной регрессии по формулам ( =1,98):
, -0,83 < R < -0,65;
, -0,48 -0,38.
10.Найдем значения и для середин интервалов Х i и У j и внесем их в корреляционную таблицу (дописав еще одну строку и один столбец к таблице 10):
Таблица 12
Y/X | X1 16.2 | X2 22.57 | X3 28.94 | X4 35.31 | X5 41.68 | X6 48.05 | X7 54.42 | X8 60.8 | ny | ||
= 2.9 | - | - | - | - | - | - | - | 54,42 | 16,32 | ||
= 7.14 | - | - | - | - | 49,65 | 21,75 | |||||
= 11.38 | - | - | - | 46,99 | 27,18 | ||||||
= 15.62 | - | 41,68 | 32,60 | ||||||||
= 19.86 | - | 33,19 | 38,03 | ||||||||
= 24.1 | - | - | - | 35,01 | 43,46 | ||||||
= 28.34 | - | - | - | 33,19 | 48,89 | ||||||
= 32.6 | - | - | - | - | - | - | 28,94 | 54,34 | |||
nx | |||||||||||
23,05 | 20,39 | 23,46 | 21,66 | 17,88 | 16,47 | 12,44 | 14,56 | ||||
28,78 | 26,04 | 23,31 | 20,57 | 17,83 | 15,09 | 12,35 | 9,61 |
11.Построим на корреляционном поле, например, эмпирическую линию регрессии У на Х:
Вывод: Сравнивая и , и (таблица 12), видим, что уравнения регрессии хорошо согласуются с данными выборки (обратите внимание – особенно У). В силу того, что значение отрицательно и довольно близко к единице, мы подтверждаем уже замеченную из графика эмпирической линии регрессии, что зависимость между наблюдаемыми признаками – обратная: чем больше процент прочности бетона на сжатие, тем меньше процент сопротивления бетона на разрыв.