Нахождение первоначального базисного распределения поставок методом «северо-западного» угла

Задача. Найти первоначальное базисное распределение для транспортной задачи примера 1.

Решение. Дадим переменной максимально возможное значение или, максимально возможную поставку в клетку (1,1) – «северо-западный» угол таблицы: . После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате первый столбец поставок выпадет из последующего рассмотрения (сплошная линия – заполненные клетки, пунктирные – выпавшие из последующего рассмотрения табл.3). Табл.3

	Потребители
Поставщики

В таблице поставок найдем новый «северо-западный» угол-клетку (1,2) и добавим в нее максимально возможное значение. Учитывая, что 1-ый поставщик уже отдал 20 ед. И у него осталось 40ед. (60-20), поэтому . Мощность первого поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадает первая строка таблицы поставок. Заполняем таблицу:

; ; ; .

Число заполненных клеток равно m+n-1=3+4-1=6, т. е. числу базисных переменных (смотри теорему). Эта особенность шагов метода «северо-западного» угла служит причиной того, что полученное распределение является базисным.

Недостаток этого метода состоит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат.

!Данный метод допускает модификацию лишенную этого не достатка: на каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в «северо-западную» клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наименьшим коэффициентом затрат. При этом распределение поставок оказывается ближе оптимальному чем распред. методом «северо-западного» угла. Такой метод называется методом наименьших затрат.

Задача. Найти методом наименьших затрат первоначальное распределение.

Решение. Находим в таблице поставок (см. таб. 2) клетки с наименьшим коэффициентом затрат. Таких две (1,1) и (2,1) с коэффициентом затрат равным 1 (табл.4).

Табл. 4

	Потребители
Поставщики

Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для (1,1) , для клетки (2,1) . Т. к. они совпадают, то максимально возможную поставку даем в любую из них. Например:20 ед. в(2,1). Спрос первого потребителя удовлетворен и первый столбец таблицы поставок выпадает из последнего рассмотрения табл. 4.

В оставшиеся таблицы наименьшим коэффициентом затрат обладают две клетки . Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1,2) ; для клетки (2,4) . Даем поставку в клетку (2,4) для которой максимально возможная поставка оказалась больше . При этом распределении выпадает вторая строка таблицы поставок (таб. 5).

Табл.5

	Потребители
Поставщики

Аналогично заполняем таблицу:

Сравним найденное распределение поставок с распределением по методу «северо-западного» угла. Вычислим для каждого из этих распределений суммарные затраты в денежных единицах:

по таблице 3:

по таблице 5:

Суммарные затраты меньше при методе наименьших затрат.

Теорема. Пусть на каждом шаге заполнение таблицы поставок возникает одна заполненная клетка, причем из рассмотрения на каждом (кроме последнего) шага выпадает либо одна строка, либо один столбец. Тогда переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные (доказательство стр. 132 «Исследование операций в экономике»).

Из теоремы следует, что методы «северо-западного» угла и наименьших затрат приводят к базисным распределениям поставок, если на каждом (кроме последнего) шаге из рассмотрения выпадает либо одна строка, либо один столбец.

Рассмотрим теперь те особые случаи, когда на некотором шаге заполнения из рассмотрения выпадает одновременно и строка и столбец. И как при этом следует поступать.

Пример. Найти первоначальное базисное распределение поставок для следующей транспортной задачи табл.6:

Решение. Воспользуемся методом «северо-западного» угла. На первом шаге следует дать поставку равную 20 ед. в клетку (1,1). Будет удовлетворен спрос первого потребителя и выпадает 1-ый столбец. На втором шаге даем 10 ед. в клетку (1,2). При этом выпадает 1-ый поставщик и 2-ой потребитель. Продолжая заполнять клетки мы получим заполнение таблицы поставок, но число заполненных клеток окажется меньше чем число базисных переменных, равное m+n-1=3+3-1=5. Такое распределение не будет базисным и этот метод решения будет неприемлем.

Для этого нужно разбить 2-ой шаг на 2 шага. Допустим, что после поставки в клетку (1,2) из рассмотрения выпадает, например, только первая строка. Для того чтобы вывести из рассмотрения второй столбец, делаем еще один шаг: даем нулевую (фиктивную) поставку в произвольную, но не вычеркнутую клетку 2-го столбца, например, в (2,2). После этих 3-х шагов имеем таблицу 7.

Табл.7 Табл.8

Аналогично можно допустить, что после второго шага из рассмотрения выпал только второй столбец. Тогда на третьем шаге нулевую поставку следует дать в произвольную, но не вычеркнутую клетку первой строки.

При последующем заполнении таблицы поставок используем метод «северо-западного» угла обычным способом. Получаем распределение поставок (табл. 8). Этот прием применяется также при методе наименьших затрат.