Линейные цепи при произвольных периодических воздействиях

На практике приходится иметь дело с воздействиями более сложного типа, чем гармонический сигнал. Чтобы получить представление о принципах расчета цепей при произвольных периодических воздействиях, рассмотрим линейный двухполюсник, к которому прикладывается n-гармонических напряжений с различными амплитудами и кратными частотами колебаний, т.е. . Исследуемая цепь является линейной и к ней применим принцип суперпозиции. Согласно этому принципу ток, текущий в двухполюснике, равен сумме токов, возбуждаемых гармоническими напряжениями, т.е. . Поэтому расчет тока в цепи сводится к вычислению откликов на отдельные гармонические воздействия.

Если функция S(t)= S(t+nT), то ее можно разложить в ряд Фурье

(1.15)

а коэффициенты Фурье

, (1.16)

(1.17)

(1.13)

где Ω=2π/T.

Разложение (1.10) можно представить в тригонометрической форме:

(1.18)

Здесь

(1.19)

(1.20)

Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладывается функция S(t), называется спектром. Спектр периодической функции сложной формы, как вытекает из разложения (1.18) состоит из постоянной составляющей и множества гармонических составляющих, частоты которых образует дискретный ряд значений nΩ (n=1,2,3…), кратных основной частоте Ω. Амплитуды гармонических составляющих (или сокращенно гармоник) равны А_n, а начальные фазы φ_n. Такой спектр называется дискретным или линейчатым.

Заметим, что постоянную составляющую в разложении (1.18) можно рассматривать как гармонику с нулевой частотой колебания и амплитудой А₀=а₀/2.

В общем случае гармонические колебания, входящие в состав спектра, будут иметь различные амплитуды и фазы. Чтобы получить наглядное представление о спектре, целесообразно воспользоваться графиками – так называемыми спектральными диаграммами. Различают два типа диаграмм: амплитудные и фазовые, которые представлены на рис. 1.9 (амплитудная - а, фазовая -б).

а) б)

Рис.1.9

Ряды Фурье могут быть записаны в комплексном виде. Известно, что

Подставляя эти выражения в разложение (1.15), после несложных преобразований получим

(1.21)

Воспользуемся далее обозначениями:

и .

Тогда вместо 1.21 будем иметь

Полагая и учитывая, что

приведем разложение S(t) к окончательному виду:

(1.22)

Равенство 1.18 есть комплексный ряд Фурье функции S(t).

Комплексный коэффициент Фурье с учетом выражений (1.16) и (1.17) определяется так:

(1.23)

В разложении 1.22 суммирование членов происходит как по положительным, так и по отрицательным n. Это означает, что комплексный ряд Фурье содержит гармоники не только с положительными, но и отрицательными частотами. Совершенно ясно, что последние частоты никакого физического смысла не имеют. Они появляются только как следствие формального представления тригонометрических функций с мнимым аргументом.

Очевидно, гармонические колебания с отрицательной частотой по аналогии с колебаниями, имеющими положительную частоту, можно представить в виде вектора, который вращается по плоскости с постоянной угловой частотой по часовой стрелке.

Найдем расстояния между соседними линиями спектра:

(n+1)Ω –nΩ = (n+1)2π/T -n 2π/T=2π/T.

При увеличении T это расстояние уменьшается, и спектр становится более плотным. От величины T зависят также амплитуды гармонических составляющих спектра. Зависимость комплексных амплитуд гармонических составляющих от частоты (если ω рассматривать как непрерывную переменную) определяется функцией

(1.24) которая не содержит T и носит название спектральной функции.