Кольцо квадратных матриц

Рассмотрим множество квадратных матриц

Введем на множестве Т операции сложения и умножения следующим образом

"A,BÎT (A+B)=С, где , i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

"A,BÎT (A´B)=С, где i=1,2,...,n, j=1,2,...,n, то есть элемент, стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С, получен как сумма произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В.

Пример. Найти сумму и произведение матриц

По определению суммы матриц, имеем

По определению произведения матриц, имеем

Из приведенного примера видно, что умножение матриц не коммутативно.

Теорема. Алгебра матриц Т=(Т, +, ´) образует кольцо.

Доказательство

Самостоятельно проверить выполнимость аксиом замкнутости относительно сложения (А0) и умножения (М0), ассоциативности (А1) и коммутативности (А1¢) сложения. Проверим выполнимость аксиомы А2. Покажем, что уравнение А+Х=В однозначно разрешимо в алгебре Т. Для этого достаточно рассмотреть уравнение для произвольных элементов матриц , где . Но в поле С такое уравнение всегда однозначно разрешимо, следовательно, каждый элемент матрицы Х определяется однозначно, то есть аксиома А2 выполняется, и алгебра Т относительно операции сложения образует абелеву группу. Проверим выполнимость аксиомы ассоциативности умножения (М1)

"A, B, СÎT(A(BС)=(AB)С).

Обозначим AB=L, (AB)С=M, BС=U, A(BС)=V и покажем, что для произвольных элементов имеет место m_ij=v_ij. Действительно,

, ,

, тогда и М=V.

Аналогично проверить, что выполняется аксиома дистрибутивности. Легко видеть, что алгебра Т=(Т,+,´) образует некоммутативное кольцо с единицей. Роль единицы играет матрица

Мы доказали, что алгебра матриц не является полем. Возникает вопрос: существуют ли обратимые матрицы и если да, то какие? Попробуем найти ответ на этот вопрос.

Теорема (об определителе произведения матриц). Определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц. ½AB½=½A½½B½.

Доказательство

Для доказательства рассмотрим определитель

и подсчитаем его двумя различными способами.

1. Разложив определитель по первым n строкам по теореме Лапласа, получим D_2n=½A½½B½+0, так как в любом из оставшихся миноров один столбец будет целиком состоять из нулей.

2. Преобразуем определитель. К каждому j столбцу от n+1 до 2n прибавим первый, умноженный на b_1j, затем второй, умноженный на b_2j, и так далее, и, наконец, n-ый столбец, умноженный на b_nj. Получим в i строке в n+1 столбце элемент с_i1=a_i1b₁₁+a_i2b₂₁+a_i3b₃₁+...+a_inb_n1. То есть получим определитель

где i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Теперь применив теорему Лапласа к последним n столбцам, получим

где

S_m=n+1+n+2+...+2n+1+2+...+n=1+2+...+n+(n+1)+...+2n

D_2n=½C½,

где С=АВ, таким образом, ½AB½=½A½½B½.

Определение. Квадратная матрица, определитель которой отличен от 0, называется невырожденной. Квадратная матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.

Следствие 1. Вырожденная матрица не обратима.

(Доказательство - самостоятельно. )

Следствие 2. Произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица.

(Доказательство - самостоятельно. )

Следствие 3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n образуют группу относительно операции умножения.

Доказательство

Так как множество невырожденных квадратных матриц порядка n

1) является подмножеством кольца квадратных матриц Т,

2) замкнуто относительно операции умножения,

то относительно операции умножения это множество образует полугруппу. Очевидно, что единичная матрица является невырожденной ½E½=1¹0, следовательно, единичная матрица принадлежит множеству невырожденных квадратных матриц. Пусть А - произвольная невырожденная квадратная матрица порядка n. Найдем матрицу, обратную для А. Пусть

, ½А½¹0.

Рассмотрим матрицу

(*)

Докажем, что =Е Рассмотрим произвольный элемент матрицы

С=

тогда

таким образом, С=Е.

Аналогично доказывается, что . Следовательно, для любой невырожденной матрицы существует обратная, вычисляемая по формуле (*), где А_ij - алгебраическое дополнение к элементу a_ij.