Ранг матрицы. Базисные строки

 

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.

Определение. Говорят, что базисными строками матрицы можно объявить те ее строки, которые являются линейно независимыми, а их число равно рангу матрицы.

Выбор базисных строк, вообще говоря, неоднозначен.

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по числу примененных элементарных преобразований. Пусть применено одно элементарное преобразование.

Если это элементарное преобразование первого типа, то новая матрица содержит те же строки, что и старая, только в другом порядке. Соответственно, линейно независимыми остались в точности те наборы строк, которые были таковыми.

Если применено элементарное преобразование второго типа, то строки старой матрицы перешли в строки новой матрицы. Сначала покажем, что при переходе от старой матрице к новой ранг не мог увеличиться. Пусть ранг старой матрицы равен , т. е. старая матрица имеет линейно независимых строк, но любые ее строк линейно зависимы. Предположим противное: в новой матрице имеется линейно независимых строк. Поскольку, при переходе от старой матрицы к новой изменениям подверглась только i -я строка, то линейно независимых строк содержат i -ю строку и без i -й строки оставшиеся строк линейно независимы. Таким образом, пусть – линейно независимые строки. По определению линейной независимости только в тривиальном случае. Т. е. только при . Но тогда, если строка содержится среди строк старой матрицы, то строка, а если строка не содержится среди строк старой матрицы, то строки старой матрицы являются линейно независимыми. Полученное противоречие показывает, что ранг новой матрицы не больше ранга старой. Заметим, что от новой матрицы можно вернуться к старой, прибавляя к i -й строке j -ю строку , умноженную на . Следовательно, аналогично доказывается, что ранг старой матрицы не больше ранга новой.

Если применено элементарное преобразование третьего типа, то строки старой матрицы перешли в строки новой матрицы, где . Очевидно, что изменения коснулись только таких линейных комбинаций строк, в которых есть i -я строка. Т. е. линейной комбинации строк старой матрицы соответствует линейная комбинация строк новой матрицы. Эти линейные комбинации будут равны, если , причем из равенства следует, что в точности тогда, когда . Поэтому, если существует нетривиальный набор , такой что , то существует нетривиальный набор , такой что , и наоборот. Следовательно, элементарное преобразование третьего типа сохраняет отношение линейной зависимости (или независимости) на наборах соответствующих строк старой и новой матриц, а значит, не меняется ранг.

Доказав теорему для случая одного элементарного преобразования, в предположении, что мы можем доказать ее для случая (t –1)-го элементарного преобразования, докажем для случая t элементарных преобразований (). Пусть А – начальная матрица, В – конечная, а С – матрица, возникшая после применения к А первого из элементарных преобразований. Тогда на основании доказанного ранги матриц А и С равны, а на основании индуктивного предположения ранги С и В равны. Следовательно, ранги А и В равны.■

Используя эту теорему можно находить ранг матрицы как число ненулевых строк в ее ступенчатом виде (т. е. в ступенчатой матрице, полученной из данной с помощью элементарных преобразований строк). Аналогично базисными строками можно объявить те строки изначальной матрицы, которые при приведении к ступенчатому виду перешли в ненулевые.

 

Определители

 

Дадим индуктивное определение определителя (разложением по первой строке).

Определение. Определителем (n -го порядка) назовем отображение, которое определено на множестве квадратных матриц (размерности n × n), принимает значения на множестве действительных чисел и организовано следующим образом:

· при квадратной матрице первого порядка ставится в соответствие то число, которое содержится в ее клетке, т. е. , где – обозначение для определителя;

· предполагая определенными определители порядка n, где , определитель порядка k введем соотношением

 

 

.

 

Помимо обозначения также используются обозначения и .

Теорема. Определители можно вычислять разложением по любому столбцу или по любой строке, при этом имеют место равенства:

 

,

 

где () называется минором ()- го порядка, соответствующим элементу () и является определителем матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i - й (k - й) строки и k - го (j - го) столбца.

Доказательство. Если по определению определителя расписать его миноры ()-го порядка до сумм произведений чисел, то можно увидеть, что результат не зависит от того, разложением по какой строке или какому столбцу мы пользовались при сведении вычисления определителя n -го порядка к вычислению этих миноров.■

Теорема. Если матрица А содержит нулевую строку, то определитель .

Доказательство. Если разложить определитель по нулевой строке, то очевидно получим 0.■

Теорема. Если от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью одного элементарного преобразования строк первого типа, то .

Доказательство. Пусть от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью перемены местами i -й и j -й строк. Разложив определители этих матриц по i -й строке, каждый из получившихся миноров ()-го порядка разложим по j -й строке. В результате увидим, что полученные разложения будут отличаться только знаками при слагаемых.■

Теорема. Если матрица А содержит две одинаковые строки, то определитель .

Доказательство. С одной стороны, переставляя местами две одинаковые строки, получим определитель, отличающийся от исходного знаком. С другой стороны, это тот же самый определитель. Очевидно, только число 0 обладает таким свойством.■

Теорема. Если от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью одного элементарного преобразования строк второго типа, то .

Доказательство.

 

 

= () +…+

 

+ () =

 

= +…+ +

 

= ( +…+ )=

 

= + = = ,

 

поскольку один из определителей содержит две одинаковых строки.■

 

Теорема. Если от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью одного элементарного преобразования строк третьего типа, где – соответствующий коэффициент, то .

Доказательство. Пусть от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью домножения i -й строки на . Разложив определитель матрицы В по i -й строке и вынеся за скобки , в скобках получим разложение по i -й строке определителя матрицы А. ■

Теорема. Определитель ступенчатой матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.

Доказательство. Раскладывая определитель в соответствии с его определением до сумм произведений его элементов, учитывая определение ступенчатого вида матрицы, убеждаемся, что все слагаемые кроме одного наверняка будут нулями. Оставшееся слагаемое есть произведение элементов главной диагонали.■

Теорема. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы .

Доказательство. Раскладывая определители матриц А и в соответствии с определением определителя до сумм произведений элементов этих матриц, получаем выражения, отличающиеся только порядком слагаемых и порядком множителей в слагаемых. Следовательно, .■

Таким образом, все теоремы о свойствах определителя, доказанные для строк, также имеют место и для столбцов.

Теорема. Строки (столбцы) квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Доказательство. Основываясь на свойствах определителя, заметим, что если от квадратной матрицы А к квадратной матрице В перешли с помощью элементарных преобразований строк, тоопределители этих матриц либо оба нулевые, либо оба ненулевые.

Если строки матрицы А размерности r линейно независимы, то число ненулевых строк в ее ступенчатом виде равно r. Тогда число опорных элементов равно r. Поскольку они стоят в разных строках и столбцах, сдвигаясь с каждой строкой направо, то опорные элементы совпадают с элементами главной диагонали. Следовательно, среди элементов главной диагонали нет нулевых, а значит, определитель ступенчатой матрицы неравен нулю.

Обратно, если определитель ступенчатой матрицы неравен нулю, то среди элементов главной диагонали нет нулевых. Тогда она не имеет нулевых строк. Следовательно, ранг матрицы А равен ее размерности r, т. е. строки матрицы А линейно независимы.

Для столбцов утверждение следует из того, что .■

Теорема. У всякой матрицы А ранга r имеется r линейно независимых столбцов, и любой набор из более чем r столбцов линейно зависим.

Доказательство. Рассмотрим минор М порядка r, составленный из элементов матрицы А, находящихся на пересечении базисных строк, и столбцов, в которых будут стоять опорные элементы, если матрицу А привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк (таких столбцов будет также r). При приведении матрицы А к ступенчатому виду Гаусса минор М перейдет в минор от единичной матрицы размерности r. Следовательно, . Тогда , а значит, столбцы минора М линейно независимы. Получается, что столбцы матрицы А, содержащие столбцы минора М, тоже линейно независимы.

Если предположить, что имеется r +1 линейно независимый столбец матрицы А, то, взяв минор М порядка r +1, с элементами, принадлежащими этим столбцам и какой-нибудь (r +1)-й строке, получим, что минор М имеет r +1 линейно независимый столбец, т. е. . При приведении матрицы А к ступенчатому виду минор М перейдет в минор . При этом . Следовательно, ступенчатый вид матрицы А имеет по крайней мере (r +1)-у ненулевую строку, что противоречит тому, что ранг матрицы А равен r. ■

Определение. Говорят, что базисными столбцами матрицы можно объявить те ее столбцы, которые являются линейно независимыми, а их число равно рангу матрицы.

Определение. Говорят, что базисным минором матрицы можно объявить ее минор, элементы которого располагаются на пересечении строк и столбцов, которые можно объявить базисными.

Выбор базисного минора, вообще говоря, неоднозначен. Базисный минор неравен нулю. Его порядок равен рангу матрицы. Минор матрицы, порядок которого больше порядка базисного минора, равен нулю. Таким образом, ранг матрицы равен не только максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы, но и максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы, и максимальному порядку отличного от нуля минора этой матрицы. Также ранг матрицы А равен рангу матрицы , транспонированной к матрице А.