Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.
Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:
1) базис любой системы векторов пространства Rn всегда содержит не более чем n векторов;
2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;
3) любой базис пространства Rn содержит n векторов;
4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства Rn.
Примером базиса пространства Rn могут служить векторы
a1 = (a11,0,...,0),
a2 = (0,a22,...,0),
.....................
an= (0,0,...,ann),
где aij¹0.
Для нахождения базиса системы векторов удобно использовать полученные ранее результаты:
составляем из координатных строк данных векторов матрицу (не нарушая общности доказательства, можем считать, что координатные строки векторов являются строками матрицы); приводим матрицу к диагональному виду и вычисляем ее ранг. Ранг матрицы равен числу векторов базиса. Если в ходе преобразований матрицы не менять местами строки и не производить действий над столбцами, тогда те векторы, в координатных строках которых после приведения матрицы к диагональному виду остались ненулевые элементы, и составляют один из базисов системы векторов-строк.
|
|
Пример. Найти базис системы векторов
a1= (-1,3,3,2,5)
a2 =(-3,5,2,3,4)
a3= (-3,1,-5,0,-7)
a4 = (-5,7,1,4,1).
Составляем из векторов-строк матрицу А и приводим ее к диагональному виду
,
rang A=3, базис образуют векторы a1, a2, a4.