Однородные системы

Рассматривается однородная система линейных уравнений с n- неизвестными:

Ах =0 х (х _1, x ₂, …, x_n).

9°. Если rang A = n, то система имеет только тривиальное решение (х ₁= x ₂= …= x_n = 0);

Если rang A < n, то система кроме тривиальных имеет и не тривиальные решения.

◀ Запишем систему Ах = 0 как линейную комбинацию столбцов: x ₁ S ₁+ x ₂ S ₂+…+ x_nS_n =0.

1) rang A = n Þ столбцы S ₁, S ₂, …, S_n линейно независимы х ₁= x ₂= …= x_n = 0 (как коэффициенты тривиальной линейной комбинации линейно независимых векторов).

2) rang A = r < n Þ S ₁, S ₂, …, S_n – линейно зависимы Þ $ ненулевой набор х ₁, x ₂,…, x_n,такой что x ₁ S ₁+ x ₂ S ₂+… + x_nS_n =0. ▶

10°. Если с ⁽¹⁾ и с ⁽²⁾ два различных решения однородной системы Ах = 0, то "a₁, a₂ÎК a₁ с ⁽¹⁾+ a₂ с ⁽²⁾тоже решение той же системы.

◀ Справедливость этого утверждения следует из известного свойства матриц

А (a₁ с ⁽¹⁾+ a₂ с ⁽²⁾) = a₁ А с ⁽¹⁾+ a₂ Ас ⁽²⁾= 0. ▶

По сути дела теперь можно утверждать, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство L.

11°. Размерность пространства L решений линейной однородной системы уравнений Ах = 0 с n -неизвестными удовлетворяет соотношению: dim L = n – rang A.

◀ Пусть rang A = r и S ₁, S _{2, …,} S_r – базисные столбцы матрицы А.

Записав систему Ах = 0в виде x ₁ S ₁+ x ₂ S ₂+…+ x_rS_r = – x_r ₊₁ S_r+ ₁– x_r ₊₂ S_r ₊₂–… – x_nS_n, отметим, что по набору x_r ₊₁, x_r ₊₂, …, x_n, всегда, и притом однозначно, находятся x ₁, x ₂, …, x_r (по теореме Крамера).

Пусть (c ₁, c ₂, …, c_r, c_r ₊₁, …, c_n) решение системы Ах = 0.Каждому такому вектору из L поставим в соответствие вектор (c_r+1, c_r+2,…, c_n) из К_n _{– r}.Это соответствие взаимно однозначно в силу сделанного выше замечания. Соблюдается это соответствие и при сложении векторов, и при умножении вектора на скаляр. Таким образом пространства L и К_n _{– r}изоморфны и, следовательно, dim L = dim К_n–r = n – r = n – rang A. ▶

Доказанная только что теорема дает и способ построения базиса в L.

Записав систему Ах = 0в виде x ₁ S ₁+ x ₂ S ₂+ … + x_rS_r = – x_r ₊₁ S_r ₊₁– x_r ₊₂ S_r ₊₂–… – x_nS_n.

1) Положим x_r ₊₁=1, x_r ₊₂= x_r ₊₃=… = x_n = 0. Найдем (они существуют и единственны по теореме Крамера). Получим вектор – решение: е ₁(,1, 0, 0,…, 0).