Определение области параметров (в пространстве параметров) в которой обеспечивается заданное время переходных процессов

Время переходного процесса связано со значением вещественной части корней характеристического уравнения соотношением

Тогда для t_пп=1c, имеем

Характеристическое уравнение получим приравняв 0 знаменатель передаточной функции системы по ошибке

Подставив в него , получим

. (38)

Изменяя w от -¥ до ¥ и решая для каждого w это уравнение, получим на плоскости параметров К₁ и К₂ границы области в которой время переходных процессов не превышает 1 сек. Такой метод построения областей допустимых значений параметров получил название метода D-разбиений. Аналитическое построение границ области осуществляется следующим образом.

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части уравнения (38), получим

(39)

Необходимо рассмотреть два случая:

1. w = 0. Тогда второе уравнение в (38) выполняется автоматически, а из первого следует уравнение первой границы (прямая 1 на рис.14)

2. w ¹ 0. Тогда из второго уравнения следует . Подставив полученное значение К₂ в первое уравнение, получим

. Полученные два соотношения, с учетом изменения w от 0 до ¥, определяют вторую границу области (прямая 2 на рис.14).

Область допустимых значений параметров заключена между этими прямыми.

С учетом ограничений К₁,К₂ £ 10000, получим замкнутую область (на рис.14 - заштрихованная область).

Определение оптимальных значений параметров осуществляется из следующих соображений. Поскольку область допустимых значений параметров ограничена прямыми, и сама целевая функция (37) линейна, то задача оптимизиции относится к задачам линейного программирования (в противном случае - нелинейного). Известно, что оптимальное решение, при условии выпуклости области допустимых значений параметров, лежит на границе этой области.

Дадим графическую интерпретацию решения задачи параметрической оптимизации, рис.14.

Зададим значение в (37), равным нулю, тогда целевая функция имеет вид

. Полученная прямая не касается заштрихованной области допустимых значений параметров и, следовательно решения в этом случае нет. Будем увеличивать . Очевидно, что при некотором , целевая функция каснется области в точке А. Значения параметров в этой точке - оптимальны, т.е.