Формат IEEE-754

Особенно подходящим местом применения radixSort является компьютерная графика. Есть много координат, которые необходимо отсортировать, причем с наибольшей скоростью. Поэтому было бы очень удобно распространить возможности процедуры на числа с плавающей точкой.

С другой стороны, существует несколько стандартов для представления таких чисел. Наиболее известным следует признать IEEE-754, который используется в IBM PC, Macintosh, Dreamcast и ряде других систем. Зафиксировав формат представления числа, уже можно модифицировать соответствующим образом сортировку.

Любое число можно записать в системе с основанием BASE как M*BASEn, где |M|<BASE. Например, 47110 = 4.7110 * 102, 6.510 = 6.510*100, -0.003210 = -3.210 * 10-3.
В двоичной системе можно дополнительно сделать первую цифру M равной 1: 101.012 = 1.01012*22, -0.000011 = -1.12*2-5

Такая запись называется нормализованной. M называется мантиссой, n - порядком числа. Стандарт IEEE-754 предполагает запись числа в виде [знак][порядок][мантисса]. Различным форматам соответствует свой размер каждого из полей. Для чисел одинарной точности(float) это 1 бит под знак, 8 под порядок и 23 на мантиссу. Числа двойной точности(double) имеют порядок из 11 бит, мантиссу из 52 бит. Некоторые процессоры(например, 0x86) поддерживают расширенную точность(long double).

тип/бит

[Знак]

[Порядок]

[Мантисса]

[Смещение]

float

double

Рассмотрим числа одинарной точности(float).
Как и в целых числах, значение знакового бита 0 означает, что число положительное, значение 1 - число отрицательное.
Так как первая цифра мантиссы всегда равна 1, то хранится только ее дробная часть. То есть, если M=1.010112, то [Мантисса]= 010112. Если M=1.10112, то [Мантисса]=10112. Таким образом в 23 битах хранится мантисса до 24 бит длиной. Чтобы получить из поля [Мантисса] правильное значение M необходимо мысленно прибавить к его значению единицу с точкой.

Для удобства представления отрицательного порядка в соответствующем поле реально хранится порядок+смещение. Например, если n=0, то [Порядок]=127. Если n=-7, то [Порядок]=120. Таким образом, его значение всегда неотрицательно.

Таким образом, общая формула по получению обычной записи числа из формата IEEE-754:

N = (-1)[Знак] * 1.[Мантисса] * 2[Порядок]-127 (нормализованная запись, 1)

Для 10.2510 = 1010.012 = +1.01001 * 23 соответствующие значения будут [Знак]=0 (+), [Порядок] = 130(=3+127), [Мантисса] = 010012.

При значениях [Порядок]=1...254 эта система позволяет представлять числа приблизительно от +-3,39*10-38 до +-3,39*10+38.

Особым образом обрабатываются [Порядок]=0 и [Порядок]=255.

Если [Порядок]=0, но мантисса отлична от нуля, то перед ее началом необходимо ставить вместо единицы ноль с точкой. Так что формула меняется на

N = (-1)[Знак] * 0.[Мантисса] * 2-126 (денормализованная запись, 2)

Это расширяет интервал представления чисел до +-1,18*10-38.... +-3,39*10+38

[Порядок]=0 [Мантисса]=0 обозначают ноль. Возможно существование двух нулей: +0 и -0, которые отличаются битом знака, но при операциях ведут себя одинаково. В этом смысле можно интерпретировать ноль как особое денормализованное число со специальным порядком.

Значение [Порядок]=255(все единицы) зарезервировано для специальных целей, более подробно описанных в стандарте. Такое поле в зависимости от мантиссы обозначает одно из трех специальных "нечисел", которые обозначают как Inf, NaN, Ind, и может появиться в результате ошибок в вычислениях и при переполнении.

Числа двойной точности устроены полностью аналогичным образом, к порядку прибавляется не 127, а 1023. Увеличение длин соответствующих полей позволяет хранить числа от 10-323.3 до 10308.3, значение [Порядок]=2047(все единицы) зарезервировано под "нечисла".