Дифференциальное уравнение упругого режима

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемой жидкости по закону Дарси в деформируемой пористой среде, выведенному в главе 1:

.

(1.7)

Считаем, что фильтрация происходит по закону Дарси, а проницаемость и динамическая вязкость постоянны:

(1.8)

Используем уравнения состояния упргойупругой жидкости

(1.9)

и упругой пористой среды:

Найдем произведение ρ m:

(1.11)

Последним слагаемым в правой части этого равенства ввиду его малости по сравнению с двумя другими слагаемыми можно пренебречь. Тогда, учитывая (6.5), получаем

.

(1.12)

Подставим в уравнение неразрывности скорости фильтрации, найденные из закона Дарси, и пренебрегая изменением плотности в по сравнению с изменением скорости, получим:

.

(1.13)

Преобразуем последнее к виду

,

(1.14)

где - коэффициент пьезопроводности пласта, м²/с.

В случае притока к галереи уравнение упругого режима запишется:

,

(1.15)

а в случае притока к скважине:

,

(1.16)

Уравнение (1.14) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации. По предложению В. Н. Щелкачева оно названо уравнением пьезопроводности и относится к уравнениям типа уравнения теплопроводности (уравнения Фурье), которое является одним из основных уравнений математической физики.

Коэффициент χ, характеризующий скорость перераспределения пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, В. Н. Щелкачев назвал коэффициентом пьезопроводности пласта по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности.

Размерность коэффициента пьезопроводности χ – м²/с.

Наиболее часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэффициента пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 м²/с.

Для того чтобы исследовать неустановившиеся процессы фильтрации упругой жидкости в упругом пласте, надо получить закон распределения давления в пласте р(х, у, z, t). Для этого нужно проинтегрировать уравнение (1.15) при соответствующих начальных и граничных условиях (см. гл. 1).

Рассмотрим наиболее простые точные решения уравнения пьезопроводности приводится ниже.