Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно pk. В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объемным дебитом Q0. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) р (r, t) определяется интегрированием уравнения
. | (1.30) |
Начальные и граничные условия задачи таковы (см. гл. 3, § 4)
р(r,0) = pk; . р(∞, t) = pk. | (1.31) |
Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерностей. Искомое распределение давления в пласте зависит от пяти определяющих параметров r, t, χ, рk, и Q0 μ/(2 π k h). Четвертый и пятый параметр имеет размерность давления. Падение давления в пласте зависит от дебита, чем больше дебит, тем больше падение давления в пласте, поэтому будем искать решение в виде
. | (1.32) |
Размерности этих аргументов таковы: [r] = L, [t] = T, [ χ ] = L2/T, и из них можно составить один безразмерный комплекс . Приняв за новую переменную величину , сведем задачу к нахождению безразмерного давления φ, зависящего только от φ = f(u). При этом начальные и граничные условия преобразуются к виду:
|
|
t = 0, u = ∞, φ(∞) = 0; r = 0, u = 0, ; r = ∞, u = ∞, φ(∞) = 0. | (1.33) |
В силу линейности дифференциального уравнения (6.16) для функции Р имеем такое же уравнение
(1.34) |
По правилу дифференцирования сложных функций находим
(1.35) |
Подставляя найденные значения производных в уравнение (??.20) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
, | (1.36) |
которое можно преобразовать к виду
. | (1.37) |
Для решения последнего уравнения (??.20) обозначим
, тогда уравнение (??.20) принимает вид
. | (1.38) |
Разделяя переменные в (6.21) и интегрируя, получаем
(1.39) |
где С1 — постоянная интегрирования. Используя граничное условие на скважине найденайдем постоянную интегрирования C1
. | (1.40) |
Интегрируя (??.22), будем иметь
. | (1.41) |
Начальное условие и граничное условие на бесконечности одинаковы и позволяют определить Второе граничное условие и начальное условие одинаковы и позволяют определить С2.
. | (1.42) |
Тогда
. | (1.43) |
В последнем интеграле сделаем замену , тогда и решение преобразуется к виду
. | (1.44) |
Интеграл в (??.27) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1.
Тогда закон распределения давления при неустановившемся фильтрационном потоке упругой жидкости к скважине работающей с постоянным расходом приимеетпримет вид
. | (1.45) |
Формула (1.45) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение, и в частности используется при интерпретации результатов исследования скважин.
|
|
Интеграл в основной формулы теории упругого режима называется интегральной показательной функцией и обозначается
. | (1.46) |
При малых значениях аргумента x << 1 интегральная показательная функция имеет простую асимптотику:
. | (1.47) |
Поэтому при выполенениивыполнении условия давление в любой точке пласта можно рассчитывать по приближенной формуле
. | (1.48) |
На рисунке.5 показан вид интегральной показательной функции и ее ассимптотика при малых значениях аргумента. При значениях аргумента x = 0,01 погрешность составляет 2.3%.
График интегральной показательной функции и ее асимптотики при малых аргументах Рис. 1.7 |
Типичные кривые распределения давления в различные моменты времени при пуске сквожиныскважины с постоянным расходам показаны на рис.??.1. На рисунке??.3 показано изменение давления в различных точках пласта с течением времени.
Расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации мажноможно найти из закона Дарси
. | (1.49) |
Строго говоря, основная формула теории упругого режима (1.48) справедлива лишь для случая точечного стока (при rс → 0) в неограниченном пласте.
В заключение приведем пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rс с постоянным дебитом Qo (рис. 6.4). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (1.7): дифференцируя ее по координате r, найдем градиент давления
Кривые распределения давления вокруг скважины в различные моменты Рис. 1.8 |
Изменение давления в различных точках скважины с течением времени Рис. 1.9 |
Рис. 1.10. Кривые распределения дебита вокруг скважины в различные моменты |
Рис. 1.11. Кривые изменения дебита в различных точках с течением времени |
Для указанных значении r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (см. рис. 1.7). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.