Метод узловых потенциалов

Расчет сложных электрических цепей методом узловых потенциалов производится путем составления уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа и определения потенциалов этих узлов относительно базисного (выбранного узла), потенциал которого принимается равным нулю. Определив потенциалы узлов, по закону Ома находятся токи в ветвях соединяющих узлы.

Методика расчета сводится к следующему:

1. Произвольно выбираются направления токов в ветвях электрической цепи.

2. Один из узлов заземляется (φ=0), а остальные нумеруются по порядку.

3. Для пронумерованных узлов составляются уравнения по первому закону Кирхгофа.

4. Вычисляются узловые токи в пронумерованных узлах, алгебраически суммируя токи от источников энергии, присоединенных к этим узлам.

5. Определяются собственные и взаимные проводимости узлов.

6. Составляется система уравнений для узловых токов через узловые потенциалы, собственные и взаимные проводимости узлов. Используя метод определителей, находятся значения узловых потенциалов.

7. По закону Ома рассчитываются истинные токи ветвей.

Приведем расчет сложной электрической цепи методом узловых потенциалов для приведенной схемы.

Рис 37.

1. Выбираем направления токов в ветвях цепи.

2. Узел 4 заземлили, т.е. φ₄=0.

3. Составляются уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3

I’₄₁ – I”₁₄ + I”’₂₁ + I”₂₁ – I’₁₂ +I₃₁ = 0 (1)

Аналогично можно записать для узлов 2 и 3.

4. Узловой ток есть сумма токов от источников

I_I = E’₄₁·g’₄₁ + E₃₁·g₃₁ + E”₂₁·g”₂₁ – E”₁₄·g”₁₄ – E’₁₂·g’₁₂ (2)

5. Определяются собственные и взаимные проводимости узлов

G₁₁ = g’₄₁ + g₃₁ + g”₂₁ + g”₁₄ + g’₁₂ + g”’₂₁ (3) – сумма всех

проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1

G₁₂ = - (g’₁₂ + g”₂₁ + g”’₂₁) (4) – сумма проводимостей всех ветвей

между узлами 1 и 2, взятая со знаком минус.

G₁₃ = -g₁₃ (5) – проводимость между узлами 1 и 3, взятая со знаком

минус.

6. Составляется система уравнений для узловых токов через потенциалы и проводимости.

1ый узел

2ой узел (6)

3ий узел

По аналогии с I_I (2)

I₂₂ = E’₁₂ ·g’₁₂ – E”₂₁ ·g”₂₁ + E’₃₂·g’₃₂ – E”₂₃·g”₂₃ – E”₂₄ · g”₂₄

G₂₂ = g’₁₂ + g”₂₁ + g’₃₂ + g”₂₃ + g”₂₄ + g”’₂₁

G₂₁ = G₁₂

G₂₃ = g”₂₃ + g’₃₂

I₃₃ = E”₂₃ ·g”₂₃ – E’₃₂ ·g’₃₂ – E₃₁ ·g₃₁ + E₄₃ ·g₄₃

G₃₃ = g₃₁ + g”₂₃ + g”₃₂ + g₄₃

G₃₁ = g₃₁

G₃₂ = G₂₃ = g”₂₃ + g’₃₂

7. Решая систему уравнений (6) методом определителей находятся потенциалы узлов φ₁ , φ₂, φ₃ и по закону Ома определяются токи в ветвях.

Для расчета методом уравнений Кирхгофа нужно составить

N_1зК = y – 1 = 4 – 1 = 3 и N_2зК = в – y – 1 – N_T = 10 – 4 + 1 – 0 = 7, т.е. 10 уравнений

Поскольку в рассмотренной схеме много ветвей, и потому много контуров - метод контурных токов неудобен, т.к. число уравнений

К = в – у +1 = 10 – 4 +1 = 7, тоже много.

В сложных цепях, как правило, узлов меньше чем контуров, поэтому достоинство метода узловых потенциалов в малом количестве уравнений.