.
Весовая функция g(θ) определяется следующим образом
При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. На рисунке П.1 представлен случай, когда g = 1 и пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания.
Чебышев доказал, что в случае оптимального решения ошибка имеет по крайней мере K+2 экстремума. Обозначим через , где i= 0,1,..K+1, нормированные частоты экстремумов.
На этих частотах должно выполняться условие
,
где , i =0,1,..K+1
Приведенные соотношения представляют собой систему K+2 линейных уравнений с K+2 неизвестными, из которых K+1 неизвестная – коэффициенты Ck аппроксимирующей функции A(θ), а ещё одна неизвестная - ошибка .
Трудность решения задачи состоит в том, что частоты неизвестны.
Поэтому сначала произвольно выбирают K+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят Ck и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак.
|
|
В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и, в конце концов, сходится к своей верхней границе.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Программа синтеза нерекурсивного цифрового фильтра с линейной ФЧХ методом
наилучшей равномерной чебышевской аппроксимации - Filter1
1 // Программа синтеза нерекурсивного цифрового фильтра
2 // с линейной ФЧХ методом наилучшей равномерной
3 // чебышевской аппроксимации - Filter1
4 // Ввод исходных данных
5 N = 51; // Длина импульсной характеристики фильтра
6 fNmin = 0.15; // Минимальное значение нормированной
7 // частоты полосы пропускания
8 fNmax = 0.2; //Максимальное значение нормированной
9 // частоты полосы пропускания
10 fN1min = 0; // Минимальное значение нормированной
11 // частоты левой полосы задерживания
12 fN1max = 0.12; // Максимальное значение нормированной
13 // частоты левой полосы задерживания
14 fN2min = 0.23; // Минимальное значение нормированной
15 // частоты правой полосы задерживания
16 fN2max = 0.5; // Максимальное значение нормированной
17 // частоты правой полосы задерживания
18 K = 1; // Требуемый коэффициент передачи фильтра
19 // в полосе пропускания
20 Kz = 0; // Требуемый коэффициент передачи фильтра
21 // в полосе задерживания
22 g1 = 1; // Весовой коэффициент в полосе пропускания
23 g2 = 1; // Весовой коэффициент в полосе задерживания
24 // Определение импульсной характеристики
25 h = zeros (1:N);
26 h = eqfir(N, [fN1min fN1max; fNmin fNmax; fN2min fN2max], [Kz K Kz], [g2 g1 g2];
27 // Вывод графика импульсной характеристики
28 clf ();
29 subplot (2,1,1)
30 k = [1:N];
31 plot2d3 (k, h, style= [ color(“blue”)])
|
|
32 xgrid
33 xtitle (‘Импульсная характеристика фильтра’)
34 // Расчет АЧХ фильтра
35 [Kf fN]= frmag(h, 500); // Расчет АЧХ Kf
36 // Вывод графика АЧХ
37 subplot (2,1,2)
38 plot2d (fN, Kf, style=[color(“blue”)])
39 xgrid
40 xtitle (‘АЧХ фильтра’)
41 // disp (h) // Вывод отсчетов импульсной характеристики.
42 // Если необходимо вывести отсчеты импульсной
43 // характеристики, нужно убрать символ “ // ” в начале
44 // строки 41
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Программа машинного эксперимента по определению АЧХ фильтра – Filter2
1 // Программа машинного эксперимента по определению
2 // АЧХ фильтра - Filter2
3 // Ввод исходных данных
4 N = 51; // Длина импульсной характеристики фильтра
5 fNmin = 0.15; // Минимальное значение нормированной
6 // частоты полосы пропускания
7 fNmax = 0.2; //Максимальное значение нормированной
8 // частоты полосы пропускания
9 fN1min = 0; // Минимальное значение нормированной
10 // частоты левой полосы задерживания
11 fN1max = 0.12; // Максимальное значение нормированной
12 // частоты левой полосы задерживания
13 fN2min = 0.23; // Минимальное значение нормированной
14 // частоты правой полосы задерживания
15 fN2max = 0.5; // Максимальное значение нормированной
16 // частоты правой полосы задерживания
17 K = 1; // Требуемый коэффициент передачи фильтра
18 // в полосе пропускания
19 Kz = 0; // Требуемый коэффициент передачи фильтра
20 // в полосе задерживания
21 g1 = 1; // Весовой коэффициент в полосе пропускания
22 g2 = 1; // Весовой коэффициент в полосе задерживания
23 X=1; // Амплитуда входного сигнала
24 fNs = 0.15; // Частота сигнала
25 nmax = 300; // Количество отсчетов сигнала
26 // Определение импульсной характеристики
27 h = zeros (1:N);
28 h = eqfir(N, [fN1min fN1max; fNmin fNmax; fN2min fN2max], [Kz K Kz], [g2 g1 g2];
29 n = 1:nmax;
30 xs = X*sin(2*%pi*fNs*n); // Формирование синусоидального
31 // сигнала на входе фильтра для снятия АЧХ
32 xc = X*cos(2*%pi*fNs*n); // Формирование косинусоидального
33 // сигнала на входе копии фильтра
34 ys = zeros (1: nmax);
35 yc = zeros (1: nmax);
36 Vs = zeros (1: nmax); // Начальная установка – обнуление
37 // линии задержки фильтра
38 Vс = zeros (1: nmax); // Начальная установка – обнуление
39 // линии задержки копии фильтра
40 Y = zeros (1: nmax);
41 B = h;
42 for n = 1:nmax // Организация цикла по порядковому номеру
43 // отсчета сигнала
44 Vs(1) = xs(n); // Подача синусоидального сигнала на вход
45 // фильтра
46 Vc(1) = xc(n); // Подача косинусоидального сигнала на вход
47 // копии фильтра
48 s = 0;
49 c = 0;
50 for k = 1:N
51 s = s+B (k)*Vs (k);
52 с = с+B (k)*Vс (k);
53 end
54 ys (n) = s; // Отсчет выходного сигнала фильтра
55 yс (n) = с; // Отсчет выходного сигнала копии фильтра
56 for k = 1: N-1 // Организация цикла для сдвига сигнала
57 // в линии задержки фильтра
58 Vs (N+1-k) = Vs (N-k);
59 Vс (N+1-k) = Vс (N-k);
60 end
61 Y(n) = sqrt(yc(n)*yc(n)+ys(n)*ys(n) // Амплитуда сигнала на
62 // выходе фильтра
63 end
64 // Выдача результатов моделирования
65 clf();
66 Mn = [1:nmax];
67 subplot (3,1,1)
68 plot2d (Mn,xs,style = [color (“red”)])
69 xgrid
70 xtitle (‘Сигнал на входе фильтра’)
71 subplot (3,1,2)
72 plot2d (Mn, ys, style = [color (“red”)])
73 xgrid
74 xtitle (‘Сигнал на выходе фильтра’)
75 subplot (3,1,3)
76 plot2d (Mn, Y, style = [color (“red”)])
77 xgrid
78 xtitle (‘Амплитуда сигнала на выходе фильтра’)
РАБОТА №4
СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКУРСИВНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение метода билинейного Z-преобразования при синтезе рекурсивных фильтров, расчет коэффициентов системной функции полосового фильтра, исследование селективных свойств фильтра.
2. ЛИТЕРАТУРА
2.1. Приложение к лабораторной работе.
2.2. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры, Самара, 2008г.
3. ПОДГОТОВКА К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
Изучите указанную в разделе 2 литературу и ответьте на контрольные вопросы.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1. Что называют цифровым фильтром?
4.2. Какой цифровой фильтр называют рекурсивным, а какой нерекурсивным?
4.3. Дайте определение импульсной характеристике фильтра. Что такое БИХ- и КИХ-фильтры?
4.4. Дайте определение системной функции фильтра. Как по системной функции определить частотную характеристику фильтра – зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты?
|
|
4.5. Как по частотной характеристике фильтра найти его АЧХ?
4.6. Как по частотной характеристике фильтра найти его ФЧХ?
4.7. Запишите соотношение, связывающее комплексную переменную p передаточной характеристики аналогового фильтра-прототипа с комплексной переменной z системной функции цифрового фильтра – билинейное z – преобразование. Докажите, что билинейное z – преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр – прототип в устойчивый цифровой фильтр.
4.8. Запишите соотношение, связывающее комплексную переменную p передаточной характеристики аналогового фильтра-прототипа с комплексной переменной z системной функции цифрового фильтра – билинейное z – преобразование. Чем отличается АЧХ цифрового фильтра от АЧХ аналогового прототипа при использовании метода билинейного Z – преобразования?
4.9. Начертите спектральную диаграмму шума на выходе полосового фильтра с прямоугольной АЧХ, если на входе фильтра действует белый шум.
4.10. Во сколько раз изменяется отношение сигнал/помеха на выходе полосового фильтра по сравнению с отношением сигнал/помеха на входе, если коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания равен единице, а в полосе задерживания 0.001? Частота синусоидального сигнала находится в полосе пропускания фильтра, а частота синусоидальной помехи в полосе задерживания.
5. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ