Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики для :

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

5. Вычисление спектра амплитуд и фаз периодических сигналов с помощью процедуры БПФ;

Есть файл в маткаде

Спектр мощности соответствует мощности, рассчитанной как квадрат амплитуды для каждой частоты, но не имеет никакой информации о начальной фазе. По­скольку спектр мощности теряет информацию о начальной фазе, можно попы­таться использовать БПФ, чтобы определить и частоту, и информацию о фазе сигнала.

Информация о начальной фазе, которую БПФ обеспечивает, есть фаза относи­тельно начала отсчета сигнала в области времени. Поэтому необходимо начинать выборку от некоторого момента в сигнале, чтобы получить непротиворечивые

сведения о начальной фазе. Колебание по закону синуса имеет начальную фазу, равную - 90°. Колебание по закону косинуса имеет начальную фазу, равную 0°. Обычно основным интересом для анализа спектра сигнала представляет измере­ние разности фаз между составляющими спектра или разности фаз между двумя гармоническими колебаниями, полученными одновременно. Можно рассмотреть разность фаз между двумя сигналами, используя некоторые из расширенных функций БПФ.

В результате БПФ получают двусторонний спектр в комплексной форме с реаль­ными и мнимыми частями. Необходимо масштабировать и преобразовать двусто­ронний спектр в полярную форму, чтобы получить амплитуду и фазу каждой гар­монической составляющей сигнала. Ось частоты полярной формы идентична оси частоты двустороннего спектра мощности.

Часто ДПФ применяется для наблюдения и анализа спектра сигнала.
При этомчасто наиболее интересными являются лишь амплитуды Ck отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты (рис.2). Часто шкала частот градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Напри- мер, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно на 6 дБ. Формула для вычисления разницы в децибелах та-кова:

Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.

Перед вычислением спектра сигнала нужно выбрать отрезок сигнала, на кото- ром будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ. Коэффициенты

При вычислении спектра указанным образом возможен следующий нежела- тельный эффект. При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем, что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его.

Для устранения этого эффекта применяются так называемые взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участ- ка. Весовые окна имеют форму, похожую на гауссиан. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала. Виртуальное «зацикли- вание» происходит при ДПФ, так как алгоритм ДПФ полагает, что функция пе- риодическая. Существует множество весовых окон, названных в честь их соз- дателей. Все они имеют похожую форму и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. Мы приведем формулы двух хороших окон: Хэмминга (Hamming window) и Блэкмана (Blackman window) (рис. 1):

Здесь окно применяется к сигналу с индексами от 0 до N. Окно Хэмминга наи- более часто используется. Окно Блэкмана обладает более сильным действием по устранению рассмотренных искажений, однако имеет свои недостатки.

Рис. 1 Взвешивающие окна Хэмминга (верхнее) и Блэкмана (нижнее).

Важное свойство спектрального анализа заключается в том, что не существует одного, единственно правильного спектра какого-либо сигнала. Спектр можно вычислять с применением различных размеров БПФ и различных весовых окон. Для каждого конкретного приложения предпочтительно использовать свои способы. От выбора размера БПФ зависит разрешение спектра по частоте и по времени. Если выбрать длинный участок сигнала для разложения в спектр, то мы получим хорошее разрешение по частоте, но плохое по времени (т.к. спектр будет отражать усредненное поведение сигнала на всем участке взятия БПФ). Если для разложения в спектр выбрать короткий участок сигнала, то мы получим более точную локализацию по времени, но плохое разрешение по час- тоте (т.к. в преобразовании Фурье будет слишком мало базисных частот). В этом заключается фундаментальный принцип соотношения неопределенно- стей при вычислении спектра: невозможно одновременно получить хорошее разрешение спектра и по частоте, и по времени: эти разрешения обратно про- порциональны.

Еще одно важное свойство спектрального анализа заключается в том, что при разложении в спектр мы находим не те синусоидальные составляющие, из ко- торых состоял исходный сигнал, а лишь находим, с какими амплитудами нуж- но взять определенные кратные частоты, чтобы получить исходный сигнал. Другими словами, разложение проводится не по «частотам исходного сигна- ла», а по «базисным частотам алгоритма БПФ». Однако обычно (особенно при использовании весовых окон) этого почти не заметно по графику спектра, то есть график спектра достаточно адекватно отображает именно частоты исход- ного сигнала.

Рис. 2. Фрагменты различных сигналов (около 800 точек) и спектры более длинных отрезков этих сигналов (4096 точек). Сверху вниз: нота на форте- пиано, голос (пение), барабан (бочка), тарелка (открытый хэт).

6. Вычисление спектральной плотности импульсных сигналов с помощью БПФ