Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram


Теория категорий

Теория категорий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения структур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизм (стрелками).

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применение в информатике и в теоретической физике. Современное преподавание алгебраической геометрии и гомологической алгебры базируется на теории категории. Понятия теории категорий используются в языке функционального программирования Haskell.

 

История

Понятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.

Теоретико-категорний анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг 20 в. так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 в. определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебре и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальной алгебре, теории изоморфизме прямых разложений, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенный взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теории универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорних определений моноида и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. топосы ).

 

Определение

Категория

Категория \ Mathcal {C} состоит из класса Ob_ {\ mathcal {C}}, элементы которого называются объектами категории, и класса, элементы которого называются морфизм категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

  1. Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлены класс \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B); если, то А называется началом, или областью определения морфизму f, а В - конец, или область значений f.
  2. Каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному классу.
  3. В классе Mor_ {\ mathcal {C}}задан частичный закон умножения: произведение морфизм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)и g \ in \ mathrm {Hom} (C, D)определены тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит классу Hom ( A, D ). Произведение f и g сказывается.
  4. Справедливый закон ассоциативности: h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ fдля любых морфизм для которых данные произведения определены.
  5. В каждом классе Hom ( A, A ) определен такой морфизм и D A, что f \ circ id_A = id_B \ circ f = fдля f \ in \ mathrm {Hom} (A, B); морфизм и D A называются единичными, тождественными, или единицами.
Заметка: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называетсямалой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определение) рассматривать категории, в которых морфизм между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру.

Примеры категорий

  • Set - категория множеств. Объектами являются множества, морфизм - отображение множеств, а умножение совпадает с последовательным выполнением отображений.
  • Top - категория топологических пространств. Обьектамие есть топологические пространства, морфизм - все непрерывные отображение топологических пространств, а умножение снова совпадает с последовательным выполнением отображений.
  • Group - категория групп. Объектами являются группы, морфизм - все гомоморфизм групп, а умножение совпадает с последовательным выполнением гомоморфизм. По аналогии можно ввести категорию колец и т. д.
  • Vect K - категория векторных пространств над полем K. Морфизм - линейные отображения векторных пространств.
  • Rel - категория бинарных отношений множества; класс объектов этой категории совпадает с классом объектов Set, а морфизм множества А в множество В есть бинарные отношения этих множеств, то есть всевозможные подмножества декартова произведения А x В; умножения совпадает с умножением бинарных отношений.
  • Моноид является категорией с одним объектом, наоборот, каждая категория, состоящая из одного объекта, является моноидом.
  • Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причем между элементами x и yсуществует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x <= y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств ).

Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм - классы гомотопных отображений.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий является коммутативные диаграммы. Коммутативна диаграмма - это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками есть морфизм или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Категория с объектами X, Y, Z и морфизм f, g.

Двойственность

Для категории \ Mathcal {C}можно определить двойственную категорию \ Mathcal {C} ^ {op}, в которой:

  • объекты совпадают с объектами начальной категории;
  • морфизм получаемые «вращением стрелок»: \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C} ^ {op}} (B, A) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок.Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры ниже).

Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственным друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т.д.

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизмы

Морфизм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)называется изоморфизмом, если существует такой морфизм, что g \ circ f = id_Aи. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизм, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмамы. Множество ендоморфизмив \ \ Mathrm {End} (A) = \ mathrm {Hom} (A, A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмом. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов \ \ Mathrm {Aut} (A) по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм - это морфизм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B)такой, что для любых g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (X, A)из f \ circ g_1 = f \ circ g_2 следует, что. Композиция мономорфизм является мономорфизм.

Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (B, X)из g_1 \ circ f = g_2 \ circ fследующего.

Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и эпиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями соответственно. Любой изоморфизм есть мономорфизм и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект, с которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный объект - это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальный объектом является пустое множество \ Empty, терминальным - множество из одного элемента.
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают - это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение объектов A и B - это объект A \ times Bс морфизм p_1: A \ times B \ to A и p_2: A \ times B \ to Bтакими, что для любого объекта C с морфизм f_1: C \ to Aи f_2: C \ to Bсуществует единственный морфизм g: C \ to A \ times Bтакой, что. Морфизм p_1: A \ times B \ to A и p_2: A \ times B \ to Bназываются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B. Соответствующие морфизм \ Imath_A: A \ to A + B и \ Imath_B: B \ to A + B называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм.

Если произведение и кодобуток существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

 





 

Читайте также:

Элементарные преобразования матриц

Математическая логика

Теория автоматов

Универсальная алгебра

Решение методом Гаусса | Система уравнений методом Гаусса

Вернуться в оглавление: Высшая математика

Просмотров: 4750

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.80.54.2