Имеется много методов решения такой задачи. Метод Крылова-Боголюбова является одним из наиболее употребительных. Идея метода заключается в желании применить для исследования хорошо развитый аппарат линейной теории автоматического регулирования. Решается задача установления факта существования либо отсутствия автоколебаний, и для случая их существования определяются их параметры. Для этих целей находится математическое описание такого линейного элемента, который, будучи введён в систему вместо нелинейного, обеспечит системе эквивалентные свойства в смысле факта наличия или отсутствия незатухающих колебаний, и только в этом смысле. В переходных процессах эквивалентность поведения исходной нелинейной и заменяющей её линейной систем никак не гарантируется. Процедура такой замены называется гармонической линеаризацией нелинейной характеристики, и она является первым этапом решения задачи. Постановка задачи. Система представляется в виде совокупности линейной части с передаточной функцией Wл и нелинейного элемента, осуществляющего преобразование x=F(y) (рис.4.10).
Рис.4.10. Исходная нелинейная САР. Гармоническая линеаризация нелинейной характеристики. Примем допущение о том, что на входе нелинейного элемента величина у изменяется по гармоническому закону , корректность которого обсудим в дальнейшем. Определим производную y΄= py = Aωcosωt. Приняв обозначение , получим ; . (4.7) При такой форме входного сигнала на выходе нелинейного элемента величина х будет изменяться пусть не по гармоническому, но, во всяком случае, по периодическому закону. В этом случае она может быть представлена в виде ряда Фурье (4.8) Учтя на основании (4.7), что ; , преобразуем (4.8): (4.9) В режиме установившихся колебаний, когда A=const.; w=const. первый член ряда – постоянная величина, характеризующая смещение центра колебаний, и в интересующем нас вопросе (есть автоколебания или нет) может быть игнорирована. СЧР – старшие члены ряда, содержащие высшие гармоники, амплитуды которых обычно пренебрежимо малы по сравнению с амплитудой первой гармоники, и потому также могут быть игнорированы. Тогда колебания на выходе нелинейного элемента приближённо представляются в виде (4.10) При постоянных А и w выражения в скобках уравнения (4.10) – постоянные величины, и приняв обозначения ; , (4.11) получим уравнение линейного элемента, эквивалентного по поведению исходному нелинейному в смысле факта существования или отсутствия незатухающих колебаний (напомним, что р представляет собою оператор дифференцирования ): . (4.12) Коэффициенты этого уравнения q и q΄ называются коэффициентами гармонической линеаризации, они являются функциями параметров нелинейных характеристик и обладают следующими свойствами. 1.Для однозначных нелинейных характеристик q΄= 0, поскольку 2.Для однозначных нелинейных характеристик . 3.Для симметричных однозначных нелинейных характеристик . Рассмотрим пример расчёта коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейной характеристики релейного типа с параметрами е и с, показанными на рис(4.11).
Рис.4.11. Релейная нелинейность. y < -e Þ F(y) = -c; -e £ y £ +e Þ F(y) = 0; y > +e Þ F(y) = +c. 1.Поскольку нелинейная характеристика однозначна, то q΄=0. 2. Поскольку , , и окончательно . (4.13) В литературе по теории автоматического регулирования приводятся заранее рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для разнообразных нелинейных характеристик в функциях параметров нелинейных характеристик. |
Вернуться в оглавление: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ |