Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации


Приближенное решение задачи об автоколебаниях. Метод гармонического баланса Крылова-Боголюбова.

Имеется много методов решения такой задачи. Метод Крылова-Боголюбова является одним из наиболее употребительных. Идея метода заключается в желании применить для исследования хорошо развитый аппарат линейной теории автоматического регулирования. Решается задача установления факта существования либо отсутствия автоколебаний, и для случая их существования определяются их параметры. Для этих целей находится математическое описание такого линейного элемента, который, будучи введён в систему вместо нелинейного, обеспечит системе эквивалентные свойства в смысле факта наличия или отсутствия незатухающих колебаний, и только в этом смысле. В переходных процессах эквивалентность поведения исходной нелинейной и заменяющей её линейной систем никак не гарантируется. Процедура такой замены называется гармонической линеаризацией нелинейной характеристики, и она является первым этапом решения задачи.

Постановка задачи. Система представляется в виде совокупности линейной части с передаточной функцией Wл и нелинейного элемента, осуществляющего преобразование x=F(y) (рис.4.10).

Wл
F(y)
y
-x

Рис.4.10. Исходная нелинейная САР.

Гармоническая линеаризация нелинейной характеристики.

Примем допущение о том, что на входе нелинейного элемента величина у изменяется по гармоническому закону

,

корректность которого обсудим в дальнейшем. Определим производную

y΄= py = Aωcosωt.

Приняв обозначение

,

получим

; . (4.7)

При такой форме входного сигнала на выходе нелинейного элемента величина х будет изменяться пусть не по гармоническому, но, во всяком случае, по периодическому закону. В этом случае она может быть представлена в виде ряда Фурье

(4.8)

Учтя на основании (4.7), что

; ,

преобразуем (4.8):

(4.9)

В режиме установившихся колебаний, когда

A=const.; w=const.

первый член ряда – постоянная величина, характеризующая смещение центра колебаний, и в интересующем нас вопросе (есть автоколебания или нет) может быть игнорирована. СЧР – старшие члены ряда, содержащие высшие гармоники, амплитуды которых обычно пренебрежимо малы по сравнению с амплитудой первой гармоники, и потому также могут быть игнорированы. Тогда колебания на выходе нелинейного элемента приближённо представляются в виде

(4.10)

При постоянных А и w выражения в скобках уравнения (4.10) – постоянные величины, и приняв обозначения

; , (4.11)

получим уравнение линейного элемента, эквивалентного по поведению исходному нелинейному в смысле факта существования или отсутствия незатухающих колебаний (напомним, что р представляет собою оператор дифференцирования ):

. (4.12)

Коэффициенты этого уравнения q и q΄ называются коэффициентами гармонической линеаризации, они являются функциями параметров нелинейных характеристик и обладают следующими свойствами.

1.Для однозначных нелинейных характеристик q΄= 0, поскольку

2.Для однозначных нелинейных характеристик

.

3.Для симметричных однозначных нелинейных характеристик

.

Рассмотрим пример расчёта коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейной характеристики релейного типа с параметрами е и с, показанными на рис(4.11).

y
х=F(y)
+e
+сy
-e
2p
j =wt
pj
А
y =Asinj
j1


Рис.4.11. Релейная нелинейность.

y < -e Þ F(y) = -c;

-e £ y £ +e Þ F(y) = 0;

y > +e Þ F(y) = +c.

1.Поскольку нелинейная характеристика однозначна, то q΄=0.

2.

Поскольку , ,

и окончательно

. (4.13)

В литературе по теории автоматического регулирования приводятся заранее рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для разнообразных нелинейных характеристик в функциях параметров нелинейных характеристик.





 

Читайте также:

Устойчивость автоматических систем.

Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование.

Типовые нелинейные характеристики и их влияние на качество регулирования.

Об устойчивости нелинейных систем.

Вернуться в оглавление: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Просмотров: 1083

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.145.176.252