Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование.

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решётчатых функций f[n] и определяется соотношением

(5.11)

В этом выражении q = σ+iω – комплексное число, называемое параметром преобразования. Функцию f[n] называют оригиналом, а F(q)- изображением. Чтобы изображение F(q) было определено, необходима сходимость ряда (5.11). Доказано, что если ряд (5.11) сходится при Re(q)=σ₀, то он сходится при любых q, удовлетворяющих условию Re(q) >σ₀. Значение σ_с, для которого при σ ≥ σ_с ряд сходится, а при σ < σ_с расходится, называется абсциссой сходимости. Ряд сходится, если σ_с < ∞, в противном случае он расходится, и изображение для f[n] не существует.

Положив , приходим к так называемому z-преобразованию функции f[n], определяемому как

. (5.12)

В табл.2 приведены z-преобразования некоторых функций.

Табл.2

1[n]

n

Изображения решётчатых функций являются функциями комплексного переменного e^q, которое может быть записано в виде

(5.13)

Из этого следует, что e^q – периодическая функция вдоль мнимой оси комплексного переменного с периодом 2π. Следовательно, изображения являются периодическими функциями вдоль мнимой оси.

Прямое преобразование Лапласа решает задачу нахождения изображения по оригиналу. Обратная задача, то есть нахождение оригинала по изображению, решается в соответствии с формулой

(5.14)

В литературе имеются таблицы соответствия между оригиналами и изображениями различных конкретных решётчатых функций.

Вернуться в оглавление: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ