№
п/п
| Базовые определения, понятия, теоремы
| Формулировки определений, понятий, теорем
| Используемая форма записи
|
| Определение производной
функции
| Производной функции в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
|
|
| Сложная функция
Производная сложной функции
| Функция y=f(u) называется сложной функцией, если её аргумент u в свою очередь функция независимого аргумента, т.е. u=
Производная сложной функции равна производной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной
|
|
| Дифференцирование обратной функции (доказательство)
| Производные от взаимообратных функций обратные по величине
| от взаимообратные функции, тогда
|
| Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
| Если функция задана параметрическими уравнениями
то её производная равна отношению к
|
|
| Производные высших порядков
| Производной n - го порядка называется производная от производной -го порядка
|
|
| Определение дифференци-руемости функции (вывод)
|
Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение можно представить равенством
|
|
| Определение дифференциала
функции
| Дифференциалом функции , называется главная часть приращения функции пропорциональная приращению независимой переменной ()
|
|
| Правило вычисления дифференциала функции
| Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной
|
|
| Правило Лопиталя
| Если при х обе функции стремятся к 0 или к ,
т.е. или
|
|
| Производные основных элементарных функций
| С доказательством
| Таблица производных
|
| Правила дифференцирования
|
|
|
Суммы функций
(с доказательством)
|
|
|
Произведения функций
(с доказательством)
|
|
|
Частного функций
|
|
|
| Определение касательной к графику функции
| Касательной М0Т к линии АВ в её точке М0 (рис.1) называется предельное положение секущей, проходящей через точку М0 и другую точку М линии при по линии АВ.
|
|
| Геометрический смысл производной (вывод)
| Значение производной функции в точке : - равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой равной
|
|
| Уравнение касательной
|
|
|
| Определение нормали к графику функции
| Прямая перпендикулярная касательной к кривой, проведенная в точке касания называетсянормалью к кривой
|
|
| Уравнение нормали
|
|
|
| Теорема Ферма
(с доказательством)
| Если функция , непрерывная в замкнутом интервале , принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке этого интервала: . Если в точке производнаяфункции существует, то она обязательно равна нулю:
|
|
| Теорема Ролля
(с доказательством)
| Если функция , непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех её внутренних точках и имеет на концах равные значения, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение для которого
|
|
| Теорема Лагранжа
(с доказательством)
| Если функция непрерывна в замкнутом интервале ,дифференцируема во всех её внутренних точках, то внутри интервала существует хотя бы одно значение для которого
|
|
| Необходимый признак монотонности
(с доказательством)
|
|
|
| Достаточный признак монотонности
(с доказательством)
|
|
|
| Необходимый признак экстремума
(с доказательством)
|
|
|
| Достаточный признак экстремума
(с доказательством)
|
|
|
Определения:
|
|
|
| точек экстремума
| Точки, разделяющие промежутки монотонности, называются точками экстремума
|
|
| точки максимума
| Точка x 0 называется точкой максимумафункции , если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:
|
|
| точки минимума
| Точка x 0 называется точкой минимумафункции , если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:
|
|
| точки перегиба
| Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой
|
|
| асимптоты графика функции
| Прямая l называется асимптотой линии, если расстояние от точки линии до прямой l стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат
|
|
| наклонной асимптоты
| Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если
|
|
| вертикальной асимптоты
| Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов при равен .
|
|
| Уравнение наклонной асимптоты, формулы вычисления
|
| ,
|