Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. В электрическую цепь, представляющую собой бесконечно протяженную плоскую сетку с квадратной ячейкой, через точку А подводится, а через точку С снимается ток I (рис. 2.4.1). Найти силу тока I ₀, протекающего по проводу АС.

ДАНО: I

I ₀ –?

Рис. 2.4.1

АНАЛИЗ. В задаче представлена нетрадиционная электрическая цепь. При решении задачи воспользуемся принципами симметрии и суперпозиции. Ток I ₀ в проводнике АС можно представить как суперпозицию двух токов. Если бы ток I подводился через точку А, а снимался бы на бесконечности, то из соображений симметрии ток по проводнику АС был бы равен I /4. С другой стороны, если бы ток I поступал на сетку из бесконечности и «втекал» бы в точку С, то по проводнику АС тоже протекал бы ток I /4.

РЕШЕНИЕ. Суммарный ток, протекающий по проводу АС, равен

Правильность формулы по размерности очевидна.

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 2. Под конец зарядки батареи аккумуляторов током силой 3 А присоединенный к ней вольтметр показывал напряжение 4,25 В. В начале разрядки той же батареи током силой 4 А вольтметр показывал напряжение 3,9 В. Ток, проходящий по вольтметру, ничтожен. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

ДАНО: I₁= 3 А

В I ₂= 4 А

–?;

–?

АНАЛИЗ. В аккумуляторе электрическое поле создается сторонними силами и направлено от отрицательного полюса к положительному. При зарядке аккумулятора (рис. 2.4.2) ток течет против вектора напряженности поля сторонних сил (кулоновское поле направлено навстречу стороннему). Тогда, пренебрегая по условию задачи током, проходящим через вольтметр, по закону Ома получим

(2.4.1)

а) б)

При разрядке аккумулятора (рис. 2.4.2 б) направление тока показывает, что кулоновское поле сонаправлено со сторонним, и потенциал в точке 2 ниже, чем в точке 1 ().

По закону Ома имеем (2.4.2)

Правильность формулы по размерности очевидна.

РЕШЕНИЕ. Подставим численные значения в (2.4.1) и (2.4.2) и решим систему уравнений:

Складывая, получаем: , отсюда Ом. В.

Тогда:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 3. Определить заряд q, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U ₀ = 2 В до U = 4 В в течение 20 с.

ДАНО: R = 3 Ом U ₀= 2 В U = 4 В t= 20 c

q –?

АНАЛИЗ. Напряжение на концах проводника является функцией времени, следовательно, ток через участок проводника не остается постоянным. За время через сечение проводника проходит заряд .

Проинтегрировав это выражение от 0 до найдем заряд, прошедший за время :

РЕШЕНИЕ. По закону Ома I = U / R, следовательно,

причем напряжение U является функцией времени, где – коэффициент пропорциональности.

Тогда

Проверим размерность: [ q ] = .

Подставив численные значения, имеем:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 4. Обкладкам конденсатора емкостью С = 2,0 мкФ сообщаются разноименные заряды величиной q ₀ = 1,0 мКл. Затем обкладки замыкаются через сопротивление R = 5000 Ом. Найти: а) закон изменения тока, текущего через сопротивление; б) заряд, прошедший через сопротивление за 2,00 мс; в) количество тепла, выделившегося в сопротивлении за то же время.

ДАНО: С = 2,0×10^–6 Ф q ₀= 1,0×10^–3 Кл R = 5000 Ом t= 2,0×10^–3 c

–?

–? Q –?

АНАЛИЗ. В задаче требуется найти закон изменения тока разрядки конденсатора со временем. Для этого следует воспользоваться определением силы тока как скорости изменения заряда и законом Ома для полной цепи, учесть, что напряжение на резисторе равно напряжению на конденсаторе , и решить получившееся дифференцальное уравнение относительно заряда . Продифференцировав выражение для заряда, найдем закон изменения силы тока. Заряд, прошедший за время , найдем как интеграл от силы тока , количество теплоты, выделившееся за время в сопротивлении , по закону Джоуля-Ленца равно .

РЕШЕНИЕ. Заряд на обкладках конденсатора убывает, и сила тока через сопротивление R (рис. 2.4.3) равна . (2.4.3)

По закону Ома , (2.4.4)

причем напряжение U изменяется со временем и связано с зарядом на обкладках конденсатора равенством . (2.4.5)

Подставим (2.4.5) в (2.4.4)

Полученное значение I подставим в (2.4.3):

Разделим переменные и проинтегрируем в пределах q от q ₀ до q:

После потенцирования имеем:

Получили закон изменения заряда со временем.

Чтобы получить закон изменения тока, текущего через сопротивление R, продифференцируем это выражение и воспользуемся равенством (2.4.3): (2.4.6)

Таким образом, ток, текущий через сопротивление R, убывает по экспоненциальному закону.

График зависимости I (t) представлен на рис. 2.4.4.

Чтобы найти заряд, прошедший за время τ, выражение (2.4.6) проинтегрируем по времени в пределах от t = 0 до t = τ:

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: мКл.

Количество тепла dQ, выделившееся в сопротивлении R за время dt, по закону Джоуля-Ленца равно

. (2.4.7)

Чтобы получить количество тепла, выделившееся за время τ, проинтегрируем уравнение (2.4.7)

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ: ; ; мКл.

ДАНО: e = 7,00 r = 10¹¹ Ом×м С = 3000×10^–12 Ф U = 2000 В

I –?

ЗАДАЧА 5. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью = 7,00 и удельным сопротивлением r = 100 ГОм×м. Емкость конденсатора С = 3000 пФ. Найти ток утечки I через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2000 В.

АНАЛИЗ. При утечке электрический ток течет через весь объем конденсатора, который в этом случае можно представить как сплошную среду. Поэтому для решения задачи воспользуемся законом Ома для участка цепи и выражением для сопротивления сплошной среды.

РЕШЕНИЕ. По закону Ома ток определяется формулой I = U / R, где R – сопротивление сплошной среды внутри обкладок конденсатора

В результате ток утечки определится выражением

Проверим размерность: =

Подставив значения, получаем: .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 6. Батарея аккумуляторов соединена параллельно с генератором постоянного тока (рис. 2.4.5). ЭДС генератора = 110 В, ЭДС батареи = 100 В. Их внутренние сопротивления r ₁ = r ₂ = r = 5 Ом. В зависимости от нагрузки в сети аккумуляторы будут разряжаться и помогать генератору питать цепь, или заряжаться. Определить, какой из этих случаев будет при сопротивлении в сети R = 100 Ом.

ДАНО:

= 110 В

= 100 В r ₁ = r ₂ = r =5 Ом R = 100 Ом

I ₂ –?

АНАЛИЗ. Задача на расчет разветвленной электрической цепи. Для ответа на поставленный вопрос нужно выяснить направление тока I ₂ в ветви АВ. Выберем в этой ветви направление тока произвольно, затем составим уравнения, используя правила Кирхгофа. Если направление тока выбрано неверно, в ответе ток I ₂ будет иметь отрицательный знак. Предположим, что происходит зарядка аккумулятора, ток I ₂ направлен слева направо, I ₁ согласно условию задачи течет справа налево.

РЕШЕНИЕ. Используем первое правило Кирхгофа для узла А:

Рис. 2.4.5

Рассмотрим простой контур АВСD, направление обхода выберем по часовой стрелке. Падение напряжения в контуре происходит на внутренних сопротивлениях r генератора и батареи аккумуляторов, направления токов I ₁ и I ₂ противоположны выбранному направлению обхода участка ABCD. Электродвижущая сила берется со знаком «плюс», т. к. направление обхода совпадает с направлением стороннего поля, со знаком «минус», поскольку направление обхода противоположно направлению стороннего поля. Уравнение по второму правилу Кирхгофа имеет вид:

Аналогично, для контура ЕDСF, выбрав направление обхода по часовой стрелке, получаем

Мы пришли к системе трех уравнений с тремя неизвестными:

Система уравнений решается по общему правилу с помощью теории определителей:

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем:

Направление тока в ветви АВ выбрано правильно, аккумулятор заряжается.

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 7. Найти силу тока в отдельных ветвях мостика Уитстона (рис.2.4.6) при условии, что сила тока, идущего через гальванометр, равна нулю. ЭДС генератора 2В, R ₁ = 30 Ом, R ₂ = 45 Ом, R ₃ = 200 Ом. Сопротивлением генератора пренебречь.

ДАНО: I_д = 0

Ом

I ₁; I ₂; I ₃; I ₄ –?

АНАЛИЗ. Задача на расчет разветвленных цепей. Чтобы найти токи в ветвях мостика Уитстона, необходимо выбрать произвольно направление всех токов и записать уравнение для узлов по первому правилу Кирхгофа и для контуров – по второму. Число независимых уравнений должно быть четыре (по числу неизвестных токов).

РЕШЕНИЕ. Выберем направления токов такими, как показано на рис. 2.4.6.

Тогда: в узле С в узле D

Таким образом, т. к. ток через гальванометр равен нулю.

В узле А:

Рассмотрим контур АСBFEA.

По правилу Кирхгофа, если выбрать обход контура по часовой стрелке, получим

Учитывая, что имеем

тогда

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем .

Рассмотрим контур ADBFEA, выберем направление обхода по часовой стрелке.

Согласно правилу Кирхгофа, имеем .

Учитывая, что получим

Чтобы найти сопротивление R ₄, рассмотрим контур CBDC, выбрав направление обхода по часовой стрелке,

или тогда

решив относительно , получаем .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: ;

ОТВЕТ: ; .

ЗАДАЧА 8. Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом подключен к источнику, ЭДС которого = 150 В, а внутреннее сопротивление = 50 Ом (рис. 2.4.7). Определить показание вольтметра с сопротивлением R _в= 500 Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

ДАНО:

Ом

В r = 50 Ом R _в= 500 Ом

U ₁ –? U ₂ –?

АНАЛИЗ. Задача на закон Ома. Электрическая цепь состоит из источника с известными значениями ЭДС и внутреннего сопротивления, вольтметра с известным сопротивлением и потенциометра, сопротивление которого меняется от до нуля в зависимости от положения контакта А. Вольтметр и участок АВ потенциометра соединены параллельно и включены последовательно в цепь с остальной частью потенциометра. Рассчитав сопротивления всей цепи по закону Ома для полной цепи, находим ток в неразветвленной цепи и падение напряжения на параллельном участке, которое равно показанию вольтметра.

Если вольтметр отключить, ток через участок АВ потенциометра будет равен току в неразветвленной цепи , а разность потенциалов между этими точками найдем по закону Ома для участка цепи.

РЕШЕНИЕ. По закону Ома показание U ₁ вольтметра, подключенного к точкам А и B (рис.2.4.7), равно: где I ₁ – сила тока в неразветвленной части цепи, R ₁ – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и потенциометра,

По закону Ома для замкнутой цепи

где R _вн = R ₁ + R /2 – внешнее сопротивление всей цепи.

С учетом сказанного, получим .

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем: ,

тогда .

Подставив значения, получаем В.

Если вольтметр отключить, то общее сопротивление цепи изменится, и ток в неразветвленной цепи станет равным I ₂.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I ₂ на половину сопротивления потенциометра

причём тогда .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: В.

ОТВЕТ: ; В.

ЗАДАЧА 9. Источники тока с электродвижущими силами = 10 В и = 4 В, включены в цепь (рис. 2.4.8). Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R ₂ и R ₃, если R ₁ = R ₄ = 2 Ом, R ₂ = R ₃ = 4 Ом. Сопротивлением источников тока пренебречь.

ДАНО:

Ом

I ₁; I ₂; I ₃; I ₄ –?

АНАЛИЗ. Задача на расчет разветвленных цепей. Электрическая цепь содержит три независимых контура. Для определения четырех неизвестных токов требуется записать уравнения для контуров по второму правилу Кирхгофа и дополнить четвертым уравнением для какого-либо узла (по первому правилу Кирхгофа).

Задачу можно решить двумя способами:

– относительно токов , текущих через сопротивления, выбрав произвольным образом направление обхода контуров;

– относительно токов, текущих в каждом контуре.

В первом случае одно сопротивление может входить одновременно в несколько контуров, и ток через это сопротивление учитывается в соответствии с направлением обхода этого контура.

Во втором случае через каждое сопротивление может проходить один или более контурных токов, и падение напряжения на каждом сопротивлении определяется сонаправленностью этих токов. Число уравнений при решении этим методом равно числу независимых контуров (в нашем случае – три).

РЕШЕНИЕ. 1 способ. Обозначим токи через сопротивления соответственно I ₁, I ₂, I ₃, I ₄ (рис. 2.4.8).

Составим уравнение по первому правилу Кирхгофа для узла А:

и уравнения по второму правилу Кирхгофа для трех независимых контуров, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для контура ABCD:

для контура BCEF:

для контура AHGD:

Получили систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

Эту систему можно решать либо методом определителей, либо подстановкой.

Получаем

Сила тока через сопротивление R ₂ равна I ₂ = 0, через R ₃ равна I ₃ = –1 А, т. е. этот ток направлен противоположно указанному на рис. 2.4.8. направлению.

2 способ. Воспользуемся методом контурных токов. Выберем направления токов в контурах, как показано на рис. 2.4.9. Схема содержит три независимых контура, поэтому для определения токов в них следует составить три независимых уравнения по второму правилу Кирхгофа. Пусть в контуре ABCD течет ток I ₁ по часовой стрелке. В контуре ADKL – ток I ₂ по часовой стрелке, а в контуре AHGD – ток I ₃ против часовой стрелки. При этом необходимо иметь в виду, что через сопротивление R ₂ текут токи I ₁ и I ₂ в противоположных направлениях, через сопротивление R ₃ токи I ₂ и I ₃ в одном направлении. Уравнения имеют вид:

Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. После некоторых преобразований имеем:

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставляя численные значения, получаем

Ток через сопротивление R ₂ равен

Через сопротивление R ₃ –

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 10. Свинцовая проволочка диаметром d ₁ = 1 мм в плавком предохранителе расплавляется при длительном токе силою не меньше I ₁ = 8 А. Определить, при какой силе тока I ₂ расплавится проволочка диаметром d ₂ = 2 мм. Считать проволочку достаточно длинной и пренебречь ее охлаждением у зажимов. Считать, что потеря теплоты проволочки в окружающее пространство прямо пропорциональна ее поверхности.

ДАНО: d ₁= 10^–3 м I ₁= 8 А d ₂= 2 ×10^–3 м

I ₂ –?

АНАЛИЗ. Задача на закон Джоуля-Ленца. Проволочка предохранителя плавится, когда количество теплоты, выделяемое током, равно теплоте плавления проволочки. В этом случае температура при установившемся режиме равна температуре плавления проволочки.

Количество теплоты, теряемое проволочкой за секунду, зависит от ее температуры и площади боковой поверхности и может быть выражено формулой

где – функция, учитывающая потери теплоты в зависимости от температуры.

Приравняв это количеству теплоты, выделившемуся по закону Джоуля-Ленца, и учитывая зависимость сопротивления проволочки от температуры, получаем для каждой проволочки уравнения относительно силы тока. Решив полученную систему уравнений, находим .

Предельная сила тока для данного предохранителя определяется следующим условием: температура при установившемся режиме должна быть равна температуре плавления проволоки.

РЕШЕНИЕ. При установившемся состоянии для первой проволочки

Обозначим и площади поперечных сечений первой и второй проволочек соответственно:

Сопротивление первой проволочки меняется с температурой по закону

Отсюда

Для второй проволочки

т. к. , то

отсюда

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: .

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 11. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δ t = 2 с по линейному закону от I ₀ = 0 A до I _max = 6 А (рис. 2.4.10). Определить количество теплоты Q ₁, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q ₂ – за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q ₂/ Q ₁.

ДАНО:

Ом

;

–?

АНАЛИЗ. Задача на закон Джоуля-Ленца. Сила тока в проводнике изменяется, поэтому применим закон Джоуля-Ленца для бесконечно малого промежутка времени

. (2.4.8)

РЕШЕНИЕ. В нашем случае ток является функцией времени

Рис. 2.4.10

где – коэффициент пропорциональности.

Интегрируя (2.4.8), получаем

Принимая во внимание, что I ₀ = 0, имеем

Проверим размерность: .

Для первой секунды t ₁ = 0, t ₂ = 1 c, тогда k = 3 A/c и Q ₁ = 60 Дж.

Для второй секунды t ₁ = 1 с, t ₂ = 2 c, Q ₂ = 180 Дж.

Отношение – за вторую секунду выделится тепла в три раза больше, чем за первую.

ОТВЕТ: Q ₁ = 60 Дж; Q ₂ = 180 Дж; .

ЗАДАЧА 12. Батарея состоит из n = 5 последовательно соединенных элементов с ЭДС = 1,4 В каждый и с внутренним сопротивлением r = 0,3 Ом. При какой силе тока I полезная мощность батареи равна 8 Вт? Какова наибольшая полезная мощность P _max батареи? Каков при этом КПД батареи?

ДАНО: п = 5

В r = 0,3 Ом Р_п = 8 Вт

I –?

–?

АНАЛИЗ. Задача на закон Джоуля-Ленца применительно к сложной цепи. Батарея состоит из п последовательно соединенных элементов, полная ЭДС равна , внутреннее сопротивление батареи .

Полезная мощность батареи выделяется на нагрузке (внешнем сопротивлении) и определяется формулой . (2.4.9)

Выразив из закона Ома для полной цепи сопротивление нагрузки и подставив в формулу (2.4.9), получаем уравнение относительно силы тока. Для определения максимального значения полезной мощности необходимо решить уравнение .

РЕШЕНИЕ. Сила тока в замкнутой цепи определяется по закону Ома

. (2.4.10)

Подставив выражения для ЭДС и внутреннего сопротивления, получим

Определим из этой формулы сопротивление нагрузки R;

Подставим значение R в формулу (2.4.9), тогда (2.4.11)

Таким образом, для нахождения силы тока I необходимо решить квадратное уравнение

или

Решением его является выражение

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив численные значения, получим:

Чтобы найти значение силы тока, при котором полезная мощность, отбираемая от данной батареи, будет максимальной, функцию (2.4.11) необходимо продифференцировать по I, а затем приравнять нулю:

Таким образом, полезная мощность максимальна при силе тока

Подставив значение I ₀ в функцию (2.4.11), найдем величину максимальной полезной мощности

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем: .

Коэффициент полезного действия батареи определяется как отношение полезной мощности Р_n ко всей мощности Р ₀, развиваемой ЭДС в цепи, при этом , тогда

При максимальной полезной мощности I = I ₀, и

ОТВЕТ: ; ;

ЗАДАЧА 13. По железному проводнику диаметром d = 0,6 мм течет ток
I = 16 А. Определить среднюю скорость направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации атомов n ¢ проводника.

ДАНО: d = 0,6×10^–3 м I = 16 А п = п ¢ Ом×м

–?

АНАЛИЗ. Задача на элементы классической электронной теории металлов. Электроны в металлическом проводнике движутся упорядоченно под действием электрического поля со средней скоростью

, (2.4.12)

где – длина проводника; – время, в течение которого все электроны, находящиеся в объеме проводника между сечениями I и II (рис. 2.4.11) пройдут через сечение II. Выразив заряд, перенесенный этими электронами, через размеры проводника и концентрацию электронов, находим длину проводника как функцию силы тока и времени . Подставив в формулу (2.4.12), находим искомую скорость.

Рис. 2.4.11

РЕШЕНИЕ. Все электроны, находящиеся в объеме проводника между сечениями I и II (рис. 2.4.11), пройдя через сечение II, перенесут заряд и создадут ток

Число N электронов в объеме проводника длиной выразим через концентрацию n:

По условию задачи , где – число Авогадро; r – плотность вещества; V _μ – объём одного моля; μ – молярная масса. Тогда а ток Из последнего выражения найдем:

Подставив это выражение в (2.4.12), получаем

Проверим размерность: . Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 14. В цепь источника постоянного тока с ЭДС = 6 В, включен резистор сопротивлением R = 80 Ом. Определить плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S = 2 мм², и число электронов N, проходящих через сечение проводов за время t = 1 с. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

ДАНО:

В R = 80 Ом S = 2×10^–6 м² t = 1 с

j –? N –?

АНАЛИЗ. Задача на закон Ома. Плотность тока найдем, определив силу тока по закону Ома для полной цепи и разделив ее на площадь поперечного сечения провода. Число электронов , проходящих через сечение проводника в секунду, найдем как отношение заряда, прошедшего через это сечение в секунду (сила тока) к величине заряда электрона.

РЕШЕНИЕ. Плотность тока равна

причем, по закону Ома

где R – сопротивление резистора; R ₁ – сопротивление соединительных проводов; r – сопротивление источника. По условию R ₁ = r = 0, поэтому .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем:

Число электронов, прошедших за время t через поперечное сечение, равно

ОТВЕТ: ;

ЗАДАЧА 15. По медному проводу сечением S = 0,17 мм² течет ток
I = 0,15 А. Определить, какая сила действует на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля.

ДАНО: S = 0,17×10^–6 м² I = 0,15 А

F –?

АНАЛИЗ. Задача на классическую электронную теорию металлов.

Сила, действующая на электроны в проводнике, определяется напряженностью электрического поля в проводнике которою можно найти из закона Ома в дифференциальной форме (2.4.13)

РЕШЕНИЕ. Плотность постоянного тока определяется по формуле

(2.4.14)

Подставим (2.4.14) в (2.4.13) тогда

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем: .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 16. Длинный проводник круглого сечения радиусом а сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника по закону , где – постоянная. Найти: а) сопротивление единицы длины проводника; б) напряженность электрического поля в проводнике, при которой по нему будет протекать ток I.

ДАНО: а, м

l = 1 м

I, A

R –? E –?

АНАЛИЗ. Задача на закон Ома в дифференциальной форме. Удельное сопротивление проводника меняется в радиальном направлении по известному закону, интегрируя который, можно найти сопротивление единицы длины этого проводника. Напряженность электрического поля в проводнике находим из дифференциальной формы законы Ома.

РЕШЕНИЕ. Найдем сопротивление единицы длины проводника ( = 1 м). Сопротивление R проводника связано с его удельным сопротивлением rсоотношением