Красноярск, 2012

Кафедра САУ

В.П. Литвинов

Однофазные электрические цепи

синусоидального тока

Задание на типовой расчет

Красноярск, 2012

Содержание работы

I. Для указанной схемы при наличии взаимной индуктивности:

1. Найти токи во всех ветвях электрической схемы.

2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

3. Построить топографическую диаграмму токов и напряжений цепи.

4. Построить волновую диаграмму токов и напряжения для ветви, содержащей источник электрической энергии.

II. Для указанной схемы произвести развязку взаимной индуктивности и методом пропорционального пересчета:

1. Найти токи во всех ветвях электрической схемы.

2. Составить баланс активных и реактивных мощностей.

III. Для указанной схемы при присутствии взаимной индуктивности методом сигнальных графов найти ток через источник (по заданию преподавателя).

Указания

1. Сопротивления взаимных индуктивностей находятся из выражения

, где - коэффициент индуктивной связи.

2. На топографических диаграммах должны быть показаны векторы напряжений на всех элементах схемы.

3. Напряжения на элементах схемы, обладающих взаимной индуктивностью, должны быть разделены на составляющие.

Числовые данные параметров схем

Таблица 1

№ п/п
	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом			В
							0,5	0,5
							0,2	0,8
							0,4	0,6
							0,6	0,4
							0,8	0,2
							0,3	0,3
							0,5	0,3
							0,8	0,8
							0,6	0,2

Таблица 2

№ п/п
	Гн	Гн	Гн	Гн	Гн	Гн	мкФ	мкФ	мкФ	мкФ	мкФ	мкФ
	0,02	0,03	0,04	0,015	0,035	0,06
	0,04	0,02	0,03	0,01	0,05	0,05
	0,03	0,06	0,04	0,02	0,05	0,04
	0,05	0,04	0,05	0,025	0,02	0,03
	0,03	0,05	0,06	0,04	0,04	0,02
	0,05	0,04	0,02	0,03	0,035	0,06
	0,04	0,03	0,035	0,04	0,03	0,045
	0,06	0,06	0,05	0,05	0,08	0,03
	0,04	0,02	0,06	0,03	0,05	0,025

Типовой расчет

Цепь синусоидального тока

Цель расчета: освоение символического метода расчета целей синусоидального тока при наличии индуктивных связей, построение векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений заданной цепи, применение основных положений теории к расчету конкретной электрической цепи переменного тока.

Исходные данные: схема электрической цепи и ее параметры.

Содержание работы: приведено в задании на типовой расчет.

Литература

Атабеков Г.И., Теоретические основы электротехники, ч.1, М, энергия, 1970, Индуктивно-связанные электрические цепи, стр. 216-231.

Бессонов Л.А., Теоретические основы электротехники, М, Высшая школа, 2003.

Пример выполнения расчета

В качестве примера приведем расчет электрической цепи, схема которой показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема электрической цепи.

Параметры элементов цепи:

В;

Ом; Ом; Ом; Ом;

Г; Г; Г; Г; Г;

мкФ; мкФ; мкФ;

Коэффициенты индуктивной связи ; .

1. Нахождение токов в ветвях электрической схемы.

1.а) Определяем сопротивления элементов электрической цепи.

Сопротивления индуктивные:

Ом; Ом;

Ом;

Сопротивления емкостные:

Ом; Ом;

Ом;

Сопротивления взаимных индуктивностей:

Ом;

б). Упрощаем данную схему до трехконтурной, делаем разметку схемы и показываем направления контурных токов.

Рис 2. Расчетная схема по методу контурных токов.

Эквивалентное сопротивление параллельной цепочки и (рис 1)

Ом,

откуда Ом; Ом.

Для расчета цепи используем метод контурных токов. Метод узловых потенциалов для случаев, когда в цепи индуктивно-связанные катушки не применяются.

Контурными токами считаем . Уравнения составляем относительно контурных токов. При составлении уравнений очень внимательно следим за знаками у слагаемых, которые обусловлены взаимной индуктивностью. Знак плюс берем, если влияющий ток и направление контурного тока рассматриваемого контура одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов. В противном случае берется знак минус.

в) Составляем систему уравнений.

1^й контур:

2^й контур:

3^й контур:

Подставляем в написанное выше уравнения все известные величины:

Окончательно получаем

Переводя комплексные числа в показательную форму имеем

(I)

Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в матричной форме

г). Решаем матричное уравнение относительно матрицы

Находим определитель системы (I)

Определяем алгебраические дополнения элементов матрицы

Запишем матрицу относительно тока в развернутой форме

Отсюда

Находим токи в ветвях схемы

2. Составления баланса активных и реактивных мощностей.

Комплексная мощность равна произведению комплексного напряжения (э.д.с.) на сопряженный ток

ВА.

Источник энергии отдает в цепь активную мощность

Вт,

реактивную мощность

ВАр.

Мощность, потребляемая в активных сопротивлениях

Вт.

Погрешность

Реактивная мощность, потребляемая в индуктивностях, взаимно-индуктивностях и емкостях

Погрешность

что допустимо (допускается до 8%).

Необходимо отметить, что в формулу для потребляемой реактивной мощности по одному разу входят попарные произведения токов магнитосвязанных друг с другом ветвей, умноженные на удвоенные соответствующие сопротивления взаимоиндукции и на косинусы углов между токами этих ветвей.

3. Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы напряжений.

Выберем масштаб для тока. Наибольшее значение тока, полученное по расчету, равно

Удобно принять масштаб . В этом случае длина максимального вектора тока будет . Длина минимального вектора тока Действительную ось комплексной плоскости направляем вертикально вверх (рис. 4), мнимую горизонтально влево.

На графике векторы токов можно строить либо по модулям и начальным фазам (с помощью транспортира), либо по их действительным и мнимым частям. На рис. 4 изображена векторная диаграмма токов. Топографическую диаграмму напряжения на всех элементах электрической цепи в масштабе напряжения, отложив на комплексной плоскости соответствующие отрезки.

Составляем подробную расчетную схему цепи (рис. 3). На этой схеме показываем действительные направления всех токов, э.д.с. и падения напряжений на элементах цепи. Точки, где соединяются элементы цепи обозначаем буквами а, б, с, и т.п.

Рис. 3.

Определяем падения напряжения на элементах цепи

Выбираем масштаб напряжения .

Построение топографической векторной диаграммы напряжений нужно всегда начинать с разветвления на конце схемы и с точки низшего потенциала. В данной схеме построение начинаем с точки "a", которую поместим в начало координат на комплексной плоскости (рис. 4).

От точка "a" откладываем отрезок ab, представляющий в масштабе напряжения падения напряжения в индуктивности . Отрезок ab равен 19,5 мм. Вектор опережает ток на .

От точки "b" откладываем вектор падения напряжения , отстающий от тока на , и определяем точка "с". Отрезок bc равен 4 мм.

Из точки "c" откладываем вектор по направлению тока и на графике находим точку d. Отрезок cd равен 1,7 мм.

Из точки d откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . На графике находим точку f¢. Отрезок df¢ равен 29 мм.

Из точки f¢ откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . На графике находим точку f. Отрезок f¢f равен 33,5 мм.

Замыкающий отрезок af равный 41 мм, представляет собой вектор падения напряжения на ветвях, заключенных между узлами a и f. Вектор может быть представлен геометрической суммой векторов и .

Точку g¢ на топографической диаграмме находим по падению напряжения в индуктивности . Вектор опережающий ток на .

Из точки g¢ проводим вектор падения напряжения на взаимной индуктивности от тока . Вектор опережающий ток на . Находим на графике точку g¢¢. Отрезок g¢g¢¢. Равен 21,4 мм.

Из точки g¢¢ откладываем вектор падения напряжения , опережающий ток на . Находим точку g. Отрезок g¢¢g равен 78,5 мм.

Точку h на топографической диаграмме находим по падению напряжения на сопротивлении . Вектор совпадает по направлению с вектором тока . Точку h можно определить по падению напряжения на индуктивности , взаимной индуктивности от

Рис. 4. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений при наличии индуктивных связей и : ; .

тока и сопротивлений , соотношении , и (рис 4).

Из точки h откладываем вектор падения напряжения в индуктивности . Находим на графике точку m. Вектор , опережающий ток на . Отрезок hm равен 114 мм.

Точку n на топографической диаграмме находим по падению напряжения на емкости . При этом стрелка падения напряжения должна смотреть в точку a. Вектор отстает от тока на . Отрезок na равен 19,3 мм. Замыкающая nm дает вектор э.д.с. источника. . Отрезок nm направлен под углом - к действительной оси и равен величине э.д.с. . Это доказывает, что топографическая диаграмма построена верно.

4. Построение волновой диаграммы и .

Э.д.с. нам задана. Ее мгновенное значение равно , где ,

Для построение этой зависимости на графике определяем масштаб времени и напряжения.

Чтобы на графике было удобно строить синусоиды э.д.с. и тока, выбираем масштаб по оси абсцисс для градуса аргумента . Тогда целому периоду будет соответствовать отрезок . Этот же отрезок будет соответствовать времени . Синусоида э.д.с. сдвинута вправо относительно начала координат на угол или на . Амплитуда э.д.с. . Выбираем масштаб . Кривую (рис 5) строим по точкам по значениям синусов для углов , , , и (или , , , и ). Например, при , .

В результате расчета получено значение тока, протекающего через источник .

Мгновенное значение этого тока , где .

Синусоида тока сдвинута вправо относительно начала координат на угол или на .

Масштаб тока выбираем .

Кривую строем по точкам (рис. 5).

Рис. 5. Кривые и

II. Метод пропорционального пересчета. Приведен пример расчета для схемы (рис. 6), в которой взаимная индуктивность убрана.

Типовой расчет будем производить для заданной схемы при развязанной взаимной индуктивности. Развязку сделать самостоятельно!!!

1. Делаем разметку схемы (рис. 6).

2. Задаемся произвольной величиной .

Масштаб для тока выбираем , масштаб для напряжения .

Построение векторной диаграммы начинаем с точки b (рис. 7). Откладываем в произвольном направлении ток , и проводим из точки b вектор , который отстает от тока на .

3. Находим ток

Откладываем ток на диаграмме по напряжению .

4. Из диаграммы определяем ток как сумму и .

5. .

Из точки C откладываем вектор , который опережает ток .

Находим точку d, вектор проводим к точке b, опережает на . Находим точку a.

6. Из диаграммы - замыкающая между точками d и a, есть

7. Определяем полное сопротивление ветви da

Учитывая п.6 и п.7 получаем

Откладываем вектор тока , опережающий напряжение на угол .

8. Находим ,

Откладываем полученные векторы на диаграмме и находим точку e.

9. Из диаграммы находим ток , складываем геометрически и .

10. На диаграмме находим точки f и k, предварительно отложив векторы напряжения

- от точки d против часовой стрелки на к .

- от точки f по току .

11. Из векторной диаграммы замыкающаяся между точками k и a есть напряжение

12. Находим ток и откладываем его на диаграмме

Откладываем вектор и , находим точку h.

13. Из диаграммы определяем ток складываем геометрически и

14. , .

Из точки k откладываем вектор , который опережает ток на . Находим точку m.

Вектор проводим к точке a по часовой стрелке на к току . Находим точку n.

15. Из диаграммы - , замыкающая между точками m и n

Так как эта величена не равна заданной э.д.с. ,то все значения токов и напряжений надо пересчитать по условию прямой пропорциональности.

Коэффициент пересчета .

По условию задачи , то есть имеется начальная фаза, определяемая углом - . По этому на топографической векторной диаграмме наносим действительную и мнимые оси, таким образом, чтобы вектор составлял с действительной осью .

В результате этого токи и напряжения можно записать в комплексной форме, при этим модули должны быть уменьшены в 6,82 раза.

Рис. 7. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений при отсутствии индуктивных связей и : ; .

Искомые напряжения

Диаграмма и для действительных величин останется такой же изменится только ее масштаб. Поэтому на рис. 7 векторы обозначают , , и т.д., а не , , и т.д.

Составление баланса активных и реактивных мощностей. Как известно, комплексная мощность равна произведению комплексной э.д.с. на сопряженный комплексный ток.

Мощность источника энергии