Поле комплексных чисел

Расширение полей.

Хотелось бы, чтобы имел корень, и при этом добавленные элементы вели себя «хорошо», т.е. подчинялись всем аксиомам поля (ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и умножения и т.д.)

Как добавить?

Так как мы хотим, чтобы выполнялись все аксиомы, то мы полагаем , так как , то при возведении мнимой 1 в степень будет получаться или действительное число или линейная комбинация самого i. Таким образом, если к множеству прибавить i и применим - 4 арифметические операции, то у нас будет получаться (в декартовой записи) , - множество комплексных чисел.

Можно считать, что - это векторное пространство над базис из двух векторов 1 и i, где - это действительная координата, а - это комплексная координата.

- комплексно сопряженный;

- симметричны относительно главной оси;

- произведение комплексного числа и ему комплексно сопряженного; это длина вектора.

Так как сумма переходит в сумму, а произведение переходит в произведение, то это доказывает что сопряжение – это гомоморфизм поля .(поскольку разные элементы переходят в разные)

Для умножения используют тригонометрическую систему координат с использованием полярной системы координат.

Как преобразовать декартовые координаты в полярные и обратно?

Тригонометрическая форма записи

При умножении - длины векторов перемножаются а углы складываются.

Формула Муавра

При извлечении корня n –ой степени возникнет n различных решений, которые будут отличаться на . Корень n – ой степени из 1 , корнями n-ой степени из 1-ы будут вершины правильного n – угольника с центром в начале координат, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Определение: Поле Р – называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень. .

Основная теорема алгебры.

Теорема 1: Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Теорема 2: Для любого поля существует его расширение, которое является алгебраически замкнутым.

Теория многочленов над полем и кольцом.

Теорема Безу: Пусть К – кольцо и . Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда .

Поделим многочлен на , . Если - корень многочлена, то .

Замечание: в математическом анализе рассматривается многочлен, как некая формальная сумма степеней, а полиноминальная функция, которая (элементу а ставит в соответствие значение функции, при этом разные многочлены могут задавать одну и ту же полиноминальную функцию.

- будем задавать нулевую функцию.

Производная в кольце многочленов.

При нахождении производной использую топологию.

В математическом анализе

Правила дифференцирования:

В алгебре понятие предела часто бессодержательно.

Производная – любое отображение , которое обладает тремя свойствами.

Теорема: Дифференцирование в кольце однозначно задается значением дифференциала на многочлене х , и т значение это может быть любым многочленом из . Если , то говорят о классической производной.

Доказательство: пусть обладает тремя свойствами и ; (по свойству 1). По свойству 3 коэффициенты вынесем за знак производной.

(по индукции), можно сделать вывод, что на значения многочлена х нет никаких ограничений.

Определение: Корень называется корнем кратности , если

Теорема (о кратных корнях производной): пусть , Р – поле. имеет кратные корни в некотором расширении поля Р тогда и только тогда, когда .

Доказательство: , в другую сторону доказательство от противного. Таким образом

Обратно: Пусть , но многочлен имеет кратные корни в некотором расширении поля Р. По следствию из алгоритма Евклида . Пусть в расширении поля К многочлен имеет , тогда по доказанному ранее ,