Числовые множества

Числа вида N = {1, 2, 3,....} называются натуральным и. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов

1. Если m, n, k – натуральные числа, то при m – n = k говорят, что m – уменьшаемое, n – вычитаемое, k – разность; при m: n = k говорят, что m – делимое, n – делитель, k – частное, число m называют также кратным числа n, а число n – делителем числа m, Если число m – кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.
2. Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называется значением выражения.
3. Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.
4. Если натуральное число m не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m = kn, то рассматривают деление с остатком: m = np + r, где m – делимое, n – делитель (m>n), p – частное, r– остаток.
5. Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым: если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.
6. Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.
7. Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.
8. Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).
9. Если числа a и b взаимно простые, т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab.

Числа вида: Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,....} называются целыми числами, т.е.целые числа – это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа –1, –2, –3, –4, –5,...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z { }, где m – целое число, а n – натуральное число.

1. Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь.Для целых чисел – это дробь со знаменателем 1.
2. Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
3. Дробь nm называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или раен ему.
4. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
5. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
6. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
7. В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен степени с основанием 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить – получиться равная ей дробь. Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.
8. Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой м периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической.

Числа, не являющиеся целыми или дробными, называются иррациональными I.

Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью.

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел R: рациональных и иррациональных