Далее рассмотрим примеры

Исследовать функцию и построить её график

1. Область определения D многочлена интервал

2. Определим нули функции. В данном случае это возможно

3. Функция нечётная, так как

4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Многочлен не имеет асимптот.

5. Определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. У многочлена все критические точки стационарные в них . Отсюда

Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x		-
	+		-	-		+
y		-10.4			10.4

Используя алгоритм нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной

получаем. При х =- локальный максимум, при х=0 экстремума нет, при х= локальный минимум.

6. Исследуем функцию на выпуклость. Находим точки подозрительные на перегиб

Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x		-1.2			1.2
	-		+	-		+
y		-6.2			6.2

Используя алгоритм нахождения точек перегиба с помощью второй производной, получаем. При х=- , при х=0, при х= - перегиб графика функции.

7. График пересекает ось ОУ в точке (0,0).

8. СТРОИМ ГРАФИК.

Исследовать функцию и построить её график

1. Область определения D функции- объединение интервалов

2.Определим нули функции. В данном случае это возможно

3.Функция общего вида

4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение . Алгоритм нахождения параметров известен

Сначала всегда определяем .

Затем

Уравнение наклонной асимптоты найдено

Проверим, имеет ли данная функция вертикальную асимптоту. Вертикальная асимптота –

Прямая, имеющая уравнение называется вертикальной асимптотой графика функции если бесконечно большая при .

Так как , то

прямая является вертикальной асимптотой.

5.с помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Стационарными точками являются точки в которых :

Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x		-7
	+		-	+
y		-24

Используя алгоритм нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной

получаем. При х=-7 локальный максимум, при х=5 локальный минимум.

2. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки подозрительные на перегиб

В этих точках либо не существует, либо . Только одна точка подозрительна на перегиб .

Для определения знаков второй производной слева и справа от этой точки применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x	-1
		+
y	нет

3. График пересекает ось ОУ в точке (5,0).

4. СТРОИМ ГРАФИК.

Исследовать функцию и построить её график

1. Область определения D функции интервал

2.Определим нули функции. В данном случае это возможно

3.Так как , то

функция общего вида.

Сначала всегда определяем .

Затем

П. Уравнение наклонной асимптоты найдено

Так как функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

5.С помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Стационарными точками являются точки в которых :

Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x	-1
		+
y	-0,6		0,6

Используя алгоритм нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной

получаем. При х=-1 локальный минимум, при х=1 локальный максимум.

5. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки подозрительные на перегиб. В этих точках либо не существует, либо .

Для определения знаков второй производной слева и справа от этих точек применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x	-
		+	+
y	нет

6. График пересекает ось ОУ в точке (0,0).

7. СТРОИМ ГРАФИК.

Исследовать функцию и построить её график. Если есть возможность

упростить выражение функции, то это нужно проделать. Упрощаем

1. Область определения D функции- интервал

2.Определим нули функции. В данном случае это возможно

3.Функция четная, так как

4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Наклонная асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . В нашем случае переменная и поэтому не может стремиться к бесконечности. Наклонных асимптот нет.

Проверим, имеет ли данная функция вертикальную асимптоту. Прямая, имеющая уравнение будет Вертикальной асимптотой – если бесконечно большая при .

Так как , то

прямые являются вертикальными асимптотами.

5. С помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Критические точки функции это точки в которых производная либо не существует либо равна нулю. Стационарными точками являются точки в которых :

=0;

Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу

x
	+
y		1,4

Используя алгоритм нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной

получаем. При х=0 локальный максимум.

8. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки подозрительные на перегиб. В этих точках либо не существует, либо .

x
	+			+
y		0.7	0.7

9. График пересекает ось ОУ в точке (;0).

10. СТРОИМ ГРАФИК.

Исследовать функцию и построить её график. Если есть возможность

упростить выражение функции, то это нужно проделать. Упрощаем

1. Область определения D функции- объединение интервалов

2.Определим нули функции. В данном случае это возможно

3.Функция четная, так как

4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Наклонная асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Для вычисления

наклонной асимптоты применяем соответствующий алгоритм