Представление синусоидального тока (напряжения) радиус - вектором. При анализе состояния электрических цепей переменного тока возникает необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых частот

При анализе состояния электрических цепей переменного тока возникает необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых частот, но с разными амплитудами и начальными фазами. Решать такую задачу с помощью рассмотренной формы представления (т.е. с помощью тригонометрических функций) достаточно трудно.

Пусть нужно найти ток i(t) = i₁(t) + i₂(t), причем

i₁(t) = I_m1× sin (w t + j₁),

i₂(t) = I_m2× sin (w t + j₂).

Так как частоты колебаний одинаковы, то задача сводится к нахождению суммарных амплитудного значения I_m и начальной фазы j. Если применить для решения известные тригонометрические преобразования, то получим

,

.

Видим, что даже окончательный результат имеет громоздкий и ненаглядный вид.

Значительное упрощение достигается применением графического метода. Векторное представление синусоидальных величин известно из тригонометрии. Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - I_m. Один оборот вектор совершает, за время периода (рис.2.2).

Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t=0 определяется углом j₁. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (2.1).

На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например i₁(t) и i₂(t) (рис. 2.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением

i(t) = I_m × sin (wt + j),

где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t=0.

Простота решения очевидна. Однако графический метод обладает существенным недостатком - низкой точностью. Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.

Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий вектор (по направлению обхода) в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любым двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.