П.10 Производные

Производная функции y = f (x), по определению, есть

=.

В словесной формулировке производная есть предел скорости изменения y относительно x при изменении x, стремящемся к нулю. Производная придает точный смысл фразе "скорость изменения y относительно x для малых изменений x ". Производную f (x) относительно x также обозначают f' (x).

Как мы уже видели, скорость изменения линейной функции y = ax + b постоянна. Поэтому для этой линейной функции

= a.

Для нелинейной функции скорость изменения y относительно x обычно зависит от x. Как мы видели, в случае f (x) = x ². Применяя определение производной, получаем

=2 x + D x = 2 x.

Таким образом, производная от x ² по x есть 2 x.

С помощью более продвинутых методов можно показать, что если y = ln x, то

=.

П.11 Вторые производные

Вторая производная функции есть производная производной от этой функции. Если y = f (x), то вторую производную f (x) по x записывают как d ² f (x)/ dx ², или как f'' (x). Мы знаем, что

= 2

= 2 x.

Поэтому

== 0

== 2.

Вторая производная измеряет изгиб функции. Функция, вторая производная которой отрицательна в некоторой точке, вогнута вблизи этой точки; ее наклон убывает. Функция, вторая производная которой положительна в некоторой точке, выпукла вблизи этой точки; ее наклон возрастает. Функция, вторая производная которой в некоторой точке равна нулю, горизонтальна вблизи этой точки.

П.12 Правило взятия производной произведения и цепное правило

Предположим, что и g (x), и h (x) являются функциями x. Мы можем определить функцию f (x), представляющую собой их произведение, как f (x) = g (x) h (x). Тогда производная f (x) задается выражением

.

Если даны две функции y = g (x) и z = h (y), то сложная функция есть

f (x) = h (g (x)).

Например, если g (x) = x ² и h (y) = 2 y + 3, то сложная функция есть

f (x) = 2 x ² + 3.

Цепное правило гласит, что производная сложной функции f (x) по x задается выражением

=.

В нашем примере dh(y)/ dy = 2 и dg (x)/ dx = 2 x, поэтому, согласно цепному правилу df(x)/ dx = 2 ´ 2 x = 4 x. Прямой подсчет подтверждает, что это производная функции f(x) = 2 x ² + 3.