2015-06-10
2752Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события Hi называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:
.
Пример. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Решение. Обозначим через 
– гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи
|
|
|
, 
, 
.
Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи
, 
, 
.
По формуле полной вероятности получаем:
.
Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:
.
Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.
Пример. Предприятие состоит из 3-х заводов.
1 завод 2 завод 3 завод
всего 50% 20% 30%
брак 1% 8% 3%
А-изделие оказалось браком. Определить вероятность того, что изделия изготавливал 2 завод?
Решение.
