Теорема Байеса

Рассмотрим задачу покупки топлива для поставки на АЗС в условиях не определенности. На первом этапе определяем шансы успешной покупки топлива. Если отсутствуют, какие либо сведенья о наличии или отсутствии топлива, то мы можем присвоить такие субъективные априорные вероятности наличия топлива (О):

P(O)=P(O’)=0.5;

Мы можем предполагать, что шансы приобрести топливо у нас лучше, чем 50 на 50, и в связи с этим мы руководствуемся следующим предположением:

P(O)=0.6; P(O’)=0.4;

Исход прошлых покупок не дает полной гарантии того, что топливо в наличии. Предположим что результаты последних покупок привели к получению условных вероятностей, в которых «+» означает наличие топлива, «-» соответствует отрицательному результату.

P(+|O)=0.8; P(-|O)=0.2; (ложно отрицательный результат)

P(+|O’)=0.1; P(-|O’)=0.9; (ложно положительный результат)

Далее с применением априорных и условных вероятностей может быть построено дерево начальных вероятностей, которое показано на рис.1

Рис.1. Дерево начальных вероятностей

После этого для вычисления суммарной вероятности результатов проверки «+» и «-» может использоваться аддитивный закон:

P(+)=P(+ᴖO)+P(+ᴖO’)=0.48+0.04=0.52;

P(-)=P(-ᴖO)+P(-ᴖO’)=0.12+0.36=0.48;

На рис.2 показана безусловная вероятность, которая используется для вычисления апостериорных вероятностей наличия топлива. Например, P(O’|-) обозначается апостериорная вероятность отсутствия топлива у данного поставщика, вычисленная на основании отрицательных результатов исследований. После этого вычисляются значения совместной вероятности. Такой пересмотр вероятностей необходим для получения качественных результатов.

Рис.2. Пересмотренное дерево вероятностей

На рис.3 показан первоначальный вариант байесовского дерева принятия решений, в котором используются данные, приведенные на рис.1 Выигрыш, показанный в нижней части дерева, является положительным, если получена прибыль, и отрицательным, если получен убыток. Предпологаеммые денежные суммы показаны в табл.1.

Выигрыш

Выигрыш	Сумма
В случае выигрыша закупка топлива по низкой цене и продажа с накруткой	2 000 000 рублей
Расходы на командировку	80 000 рублей
Расходы на ЗП водителю	30 000 рублей

Рис.3. Первоначальное байесовское дерево решений для задачи закупки топлива.

Таким образом, если топливо будет в наличии, то выигрыш составит 2 000 000 - 80 000 – 30 000 = 1890000. Если будет решено отказаться от покупки в связи с отсутствием топлива, то выигрыш составит -30 000 - 80 000) = -120000.

Дерево решений, приведенное на рис.4 показывает оптимальную стратегию для закупки топлива. Если результаты проверки наличия топлива являются положительными, то должна быть проведена закупка этого топлива, а если результаты отрицательны, то необходимо ехать обратно без топлива. В таб.1,2 показаны расчеты

Исходные данные	Сумма
В случае выигрыша закупка топлива по низкой цене и продажа с накруткой
Расходы на командировку
Расходы на ЗП водителю
Если топливо в наличии
Если топливо отсутствует
Выйгрышь
Ожидаемый выигрыш в узле C	=B5*(12/13)-B6*(1/13)
Ожидаемый выигрыш в узле B	=B5*(1/4)-B6*(3/4)
Ожидаемый выигрыш в узле E	=ЕСЛИ(B8;B8;B9)
Ожидаемый выигрыш в узле D	=ЕСЛИ(B9;B9;B10)
Ожидаемый выигрыш в узле A	=(B8*0,52)-(B9*0,48)

Таб.1. Таблица формул

Исходные данные	Сумма
В случае выигрыша закупка топлива по низкой цене и продажа с накруткой	2 000 000р.
Расходы на командировку	80 000р.
Расходы на ЗП водителю	30 000р.
Если топливо в наличии	1 890 000р.
Если топливо отсутствует	120 000р.
Выйгрышь
Ожидаемый выигрыш в узле C	1 735 385р.
Ожидаемый выигрыш в узле B	382 500р.
Ожидаемый выигрыш в узле E	1 735 385р.
Ожидаемый выигрыш в узле D	382 500р.
Ожидаемый выигрыш в узле A	718 800р.

Таб.2. Таблица с данными.

Дерево решений, приведенное на рис.4, показывает оптимальную стратегию для выгодной закупки топлива. Если результаты проверки на наличие являются положительными, мы должны закупить топливо, а если результат проверки на наличие отрицателен, то необходимо ехать обратно.

Рис.4. Полное байесовское дерево решений, в котором используется обратная индукция.

Рассмотренное дерево решений представляет собой пример гипотетических рассуждений, или ситуаций, в которых важную роль играют вопросы «что, если». Исследуя альтернативные способы действий, мы можем отсекать пути, не ведущие к оптимальным выигрышам.

Дописать вывод!!!!!!

Список литературы

1. Системы искусственного интеллекта. Экспертные системы. Осипова И.А.

2. Конспект лекций Осипова И.А.

3. Интернет ресурсы.