Это делает расчет сетевых структур более сложным, так как в данном случае определены другого рода задачи:
1. найти функцию распределения вероятности времени наступления события ;
2. определить вероятность того, что событие наступит не позднее момента ;
3. найти функцию распределения критического пути ;
4. найти среднее значение продолжительности критического пути — ;
5. определить наименьшее и наибольшее значения продолжительности критического пути — и ;
6. вычислить вероятность реализации совокупности работ за плановое время и т.п.
В качестве начальных данных для таких расчетов представляются закономерности распределения продолжительности отдельных сетевых работ.
Статистические исследования показали, что продолжительность для большинства распространенных типов работ описывается -распределением (рис. 6.21, б):
при ; в иных случаях.
В данном случае представлены в качестве констант, при этом находится из условия нормирования:
Константы и предполагают зависимость от специфики работ (рис. 6.21, б — в данном случае ).
|
|
Бета-распределение является одним из самых распространенных в математической
статистике. Его специальными случаями являются F-распределение, закон арксинуса.
Бета-распределение связано с гамма-распределением, равномерным и биноминальным распределениями [1].
Плотность бета-распределения плотности вероятностей ущерба распределяется по следующему закону [1]:
где В(α,β) -бета-функция, которая имеет вид:
В(α,β) = Г(α)-Г(β)/Г(α + β).
Здесь Г(а) - гамма-функция (принимает табличные значения), а>0ир>0 - свободные параметры гамма-функции. Интегральная функция распределения определяется выражением [1]:
Ф(U) = (α,β)/В(α,β),
где (α,β)- неполная бета-функция, которая принимает табличные значения и находится с помощью интеграла
(α,β)=
Вероятность превышения значения порогового ущерба U2, который является макcимально допустимым, находится по формуле
P(u≤u2) = Ф()= (α, β) / В(α, β).
Вероятность попадания причиненного ущерба в заданный интервал [щ, U2] является площадью под кривой плотности распределения и находится как разность двух инте гральных функций распределения
P(u≥u2)=1-1 - Ф(u2) = 1 - (α, β) / В(α, β).
Таблица интегральных, усредненных рисков и защищенности для непрерывного бета распределения вероятностей ущерба
Вид риска и защищенности | Аналитическое выражение |
Risk(u≤u2) | (α, β)* [ 1 - ]/(β * [B(α, β)]2) |
β * [B(α,β)]2 /« * Bu (α,β).[1 - - ]) 1 | |
Risk(u1≤u≤u2) | *[B (α, β)*- (α, β)]- [ - ]/(β • [B(α, β)]2 |
* [B (α, β)] /[ * B (α,β)- ( (α,β)]- [ - -1 | |
Risk(u≤u2) | * [B(α, β) – Bu2 (α, β)]- ]/(β •*[B(α, β)]2] |
-1 | |
Risk(u u2) | |
-1 | |
Risk(u1≤u≤u2) | |
Risk(u u2) | [1- ] |
2 • B(α,β)/(u2 • [B(α,β) - ) -1 |
Следует отметить, что полученные интегральные риски являются не функциями, а константами (числами), характеризующими ущерб в некотором интервале.
|
|
Элементарный риск определяется с помощью дискретизации плотности бета –распределения. Рассмотрим отрезок [0;umax], где umax - значение максимально допустимого ущерба. Превышение значения umax означает “смерть” системы. Вероятность превышения umax:
Р(u ) =1- * =1- .
Разобьем полученный отрезок на n дискрет . Период дискретизации ∆u, к - дискретная переменная, k={ , }. Пронормировав по = n*∆u, получим получим единичное пространство.
Risk()= / B(α,β)).
Тогда защищенность системы можно определить выражением
E= * B(α,β)/ .
Как видно из вышеприведенной формулы, на состояние защищенности влияют параметры бета-распределения вероятностей ущерба а, Р и количество выборок, получаемых при дискретизации плотности бета распределения.
Рассмотрим функцию элементарного риска и определим ее параметры: матожидание , дисперсию D, среднее квадратическое отклонение Ϭ, коэффициент вариации v, коэффициент асимметрии As, коэффициент эксцесса , моду , медиану , производные первого и второго порядков риска,точку максимума , точки перегиба , начальные и центральные моменты, размах варьирования R представлены в табл. 2
Вид параметра | Аналитическое выражение |
Risk() | / B(α,β)) |
E | * B(α,β)/ |
risk’(u) | |
α/[α+β-1] | |
risk"(u) | *[ -2 |
α/(α+β-1) | |
,n=2*k+1; n=2*k | |
/ * B(α,β) | |
/ *[ ] | |
D(u) | |
- * 2 | |
-4 +6 -3* | |
-3 | |
D | / *[ ] |
Ϭ | / *[ ] |
v | * |
R | α/(α+β-1)- |