2015-06-04
319Это делает расчет сетевых структур более сложным, так как в данном случае определены другого рода задачи:
1. найти функцию распределения вероятности времени наступления события 
;
2. определить вероятность того, что событие наступит не позднее момента 
;
3. найти функцию распределения критического пути 
;
4. найти среднее значение продолжительности критического пути — 
;
5. определить наименьшее и наибольшее значения продолжительности критического пути — 
и 
;
6. вычислить вероятность реализации совокупности работ за плановое время 
и т.п.
В качестве начальных данных для таких расчетов представляются закономерности распределения продолжительности отдельных сетевых работ.
Статистические исследования показали, что продолжительность 
для большинства распространенных типов работ описывается 
-распределением (рис. 6.21, б):
при 
; в иных случаях.
В данном случае 
представлены в качестве констант, при этом 
находится из условия нормирования:
Константы 
и 
предполагают зависимость от специфики работ (рис. 6.21, б — в данном случае 
).
Бета-распределение является одним из самых распространенных в математической
статистике. Его специальными случаями являются F-распределение, закон арксинуса.
Бета-распределение связано с гамма-распределением, равномерным и биноминальным распределениями [1].
Плотность бета-распределения плотности вероятностей ущерба распределяется по следующему закону [1]:
где В(α,β) -бета-функция, которая имеет вид:
В(α,β) = Г(α)-Г(β)/Г(α + β).
Здесь Г(а) - гамма-функция (принимает табличные значения), а>0ир>0 - свободные параметры гамма-функции. Интегральная функция распределения определяется выражением [1]:
Ф(U) = 
(α,β)/В(α,β),
где (α,β)- неполная бета-функция, которая принимает табличные значения и находится с помощью интеграла
(α,β)= 
Вероятность превышения значения порогового ущерба U2, который является макcимально допустимым, находится по формуле
P(u≤u2) = Ф(
)= 
(α, β) / В(α, β).
Вероятность попадания причиненного ущерба в заданный интервал [щ, U2] является площадью под кривой плотности распределения и находится как разность двух инте гральных функций распределения
P(u≥u2)=1-1 - Ф(u2) = 1 - 
(α, β) / В(α, β).
Таблица интегральных, усредненных рисков и защищенности для непрерывного бета распределения вероятностей ущерба
| Вид риска и защищенности | Аналитическое выражение |
| Risk(u≤u2) |  (α, β)* [ 1 -  ]/(β * [B(α, β)]2)
|
| β * [B(α,β)]2 /« * Bu (α,β).[1 - - ])  1
|
| Risk(u1≤u≤u2) |  *[B (α, β)*-  (α, β)]- [ -  ]/(β • [B(α, β)]2
|
|  * [B (α, β)] /[ * B (α,β)- ( (α,β)]- [ -  -1
|
| Risk(u≤u2) |  * [B(α, β) – Bu2 (α, β)]- ]/(β •*[B(α, β)]2]
|
|  -1
|
Risk(u  u2)
| 
|
|
|  -1
|
| Risk(u1≤u≤u2) | 
|
|
| 
|
| Risk(u u2)
|  [1-  ]
|
|
| 2 • B(α,β)/(u2 • [B(α,β) -  ) -1
|
Следует отметить, что полученные интегральные риски являются не функциями, а константами (числами), характеризующими ущерб в некотором интервале.
Элементарный риск определяется с помощью дискретизации плотности бета –распределения. Рассмотрим отрезок [0;umax], где umax - значение максимально допустимого ущерба. Превышение значения umax означает “смерть” системы. Вероятность превышения umax:
Р(u 
) =1- 
* 
=1- 
.
Разобьем полученный отрезок на n дискрет 
. Период дискретизации ∆u, к - дискретная переменная, k={ 
, 
}. Пронормировав по 
= n*∆u, получим получим единичное пространство.
Risk(
)= 
/ 
B(α,β)).
Тогда защищенность системы можно определить выражением
E= 
* B(α,β)/ 
.
Как видно из вышеприведенной формулы, на состояние защищенности влияют параметры бета-распределения вероятностей ущерба а, Р и количество выборок, получаемых при дискретизации плотности бета распределения.
Рассмотрим функцию элементарного риска и определим ее параметры: матожидание 
, дисперсию D, среднее квадратическое отклонение Ϭ, коэффициент вариации v, коэффициент асимметрии As, коэффициент эксцесса 
, моду 
, медиану 
, производные первого и второго порядков риска,точку максимума 
, точки перегиба 
, начальные 
и центральные 
моменты, размах варьирования R представлены в табл. 2
| Вид параметра | Аналитическое выражение |
| Risk()
| / B(α,β))
|
| E | * B(α,β)/
|
| risk’(u) | 
|
|
| α/[α+β-1] |
| risk"(u) |  *[  -2 
|
|
| 
|
|
| α/(α+β-1) |
|
|  ,n=2*k+1;  n=2*k
|
|
|  / * B(α,β)
|
|
|  /  *[  ]
|
|
| 
|
| |
| D(u) |
|  -  *  2 
|
|  -4  +6  -3* 
|
|
|  -3
|
| D |  /  *[  ]
|
| Ϭ |  / *[ ]
|
| v |  *
|
| R | α/(α+β-1)- 
|
