Геометрическое распределение. Геометрическое распределение – распределение случайной величины X с целочисленными неотрицательными значениями

Геометрическое распределение – распределение случайной величины X с целочисленными неотрицательными значениями, заданное формулой

где 0<p<1 – параметр. Вероятности p_m образуют геометрическую прогрессию (отсюда название – “геометрическое распределение”). Математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения равны

Рисунок - Дифференциальная функция геометрического распределения.

Обычно геометрическое распределение возникает в схеме испытаний Бернулли (испытания Бернулли – независимые испытания с двумя случайными исходами, вероятности которых не изменяются от испытания к испытанию) и интерпретируется как распределение времени ожидания до первого успеха. Если число испытаний Бернулли заранее не ограничено и p – вероятность успеха, то случайная величина X – число испытаний, предшествующих наступлению первого успеха,– имеет геометрическое распределение. Если X₁, …, X_n – независимые случайные величины, имеющие одинаковое геометрическое распределение с параметром p, то сумма имеет распределение Паскаля.

Геометрическое распределение является единственным дискретным распределением, обладающим свойством «отсутствия последействия»: состояние некоторой системы в настоящий момент времени t₀ однозначно определяет распределение вероятностей будущего развития процесса при t>t₀, и информация о прошлом поведении процесса не влияет на это распределение.