Свойство4

Дати означення ф-ції розподілу імовірностей с.в.в. Сформулювати її основні властивості та геометричний зміст.

Случайные величины, возможные значения которых определяются одним числом наз одномерными. Величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами наз соответственно двумерными, трёхмерными, …, n-мерными.

Будем обозначать через (X,Y) двумерную с.в. Каждую из величин X и Y наз составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Ф-ция распределения двумерной с.в.

Рассмотрим двумерную с.в. (X,Y) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть x,y – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, обозначим через F(x,y). Если x и y будут изменяться, то будет изменяться и F(x,y), т.е. F(x,y) есть ф-ция от x и y.

Ф-цией распределения двумерной с.в. (X,Y) наз ф-цию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел x,y вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

F(x,y)=P(X< x, Y< y)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в бесконечный квадрат с вершиной (x,y), расположенный левее и ниже этой вершины (с.158 Гмурман)

Свойство1. Значения ф-ции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(x,y)≤1

Свойство2. F(x,y) есть неубывающая ф-ция по каждому аргументу, т.е.

F(x₂,y)≥ F(x,y), если x₂>x₁

F(x,y₂)≥ F(x,y), если y₂>y₁

Свойство3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞, y)=0 3) F(-∞,-∞)=0

2) F(x, -∞)=0 4) F(∞, ∞)=1

Свойство4.

а) При y=∞ ф-ция распределения системы становится ф-цией распределения составляющей X:

F(x, ∞)=F₁(x)

б) При x=∞ ф-ция распределения системы становится ф-цией распределения составляющей Y:

F(∞, y)=F₂(y)

26. Пояснити, як будуються випадкові величини, що мають розподіл: а) Пірсона χ² (χ²-розподіл), б) Стьюдента (t-розподіл), в) Фішера (F-розподіл). Записати вирази для ф-ції щільності розподілу імовірностей цих розподілів та їх основні числові характеристики. Пояснити зміст позначень.

а) Пусть X_i(i=1,2,…,n) – нормальные независимые случайные величины, причем мат. ож-ние каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону χ² («хи квадрат») с k=n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степенем свободы k=n-1.

Плотность этого распределения

,

где - гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n!

б) Пусть Z – нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, σ(Z)=1, а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону χ² с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое наз t-распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

в) Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону χ² со степенями свободы k₁ и k₂, то величина имеет распределение, которое наз распределением F Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁ и k₂ (иногда его обозначают через V²).

Плотность этого распределения

где

15.

6. Довести основні властивості мат. Сподівання та дисперсії 1)значення мат. сподівання вел. Х полягає між її наймен. І найбіл. ЗначеннямиДе а < М(х)<в2)Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійнійвеличині, тобто: М(С)=С3)Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванняM(kx)=k(M(x)4)Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величиндорівнює сумі математичних сподівань: M(x+y)=M(x)+M(y)5)Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добуткуматематичних сподівань цих величин: M(x*y)=M(x)*M(y)6)Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне йте саме число C, то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) нате саме число: M(X–C)=M(X)–C Наслідок: Математичне сподівання відхилення випадкової величини X, від її математичного сподівання дорівнює 0 Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тількиматематичне сподівання не може в достатній мірі характеризувативипадкову величину., дисперсыя для випадкових та неперервних величин Властивості дисперсії 1) Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=02)Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його доквадрату, тобто: Д(с*х)= с*с * Д(х)3)Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величиндорівнює сумі дисперсій цих величин: Д(x+y)=Д(x)+Д(y)4) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:Д(x-y)=Д(x)-Д(y) 19. Дати означення основних числових характеристик свв.:

В) Досить часто для характеристики зв’язку між випадковими величинами і використовують коефіцієнт кореляції

.

Коефіцієнт кореляції характеризує тільки зв'язок між випадковими величинами, тоді як крім зв’язку між випадковими величинами і характеризує ще й величину розсіювання. Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною.

Зазначимо, що можна розглядати як скалярний добуток величин і .

дістаємо так званий умовний дискретний розподіл імовірностей випадкової величини за умови, що випадкова величина набуває значення , . Числа , , , можна тлумачити як значення деякої випадкової величини , , яких вона набуває з імовірностями ,

Нехай – дискретна випадкова величина, що набуває значень , тобто

.

Нехай – деяке розбиття.

Умовним математичним сподіванням випадкової величини щодо розбиття називають випадкову величину

, .

Якщо при цьому , то ,

тобто для випадкова величина набуває одного й того самого значення .

Якщо – довільна випадкова величина, для якої визначено , – випадкова подія така, що , то величину

, ,

називають умовним математичним сподіванням випадкової величини щодо події .

Г) Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

ОЗНАЧЕННЯ 5.8. Початковим моментом k-го порядку випадкової величини x називають математичне сподівання величини x^k:

a_k = a_k(x) = М(x^k) (k = 1,2,3, …).

ОЗНАЧЕННЯ 5.9. Центральним моментом k-го порядку випадкової величини x називають математичне сподівання від величини (x - Мx)^k:

m_k = m_k(x) = М(x-Мx)^k (k = 1,2,3, …).

Відзначимо кілька важливих положень:

- Число М½x½^k називають абсолютним початковиммоментом порядку k випадкової величини x;

- Число М½x - Мx½^k називають абсолютним центральним моментом порядку k випадкової величини x;

- З означень 5.8 та 5.9 маємо, що коли існують моменти Мx^k, то існують й моменти менших порядків.

- Вірні наступні порівняння:

а) a = m = 1;

б) Mx = a₁;

в) Dx = s²_x = m₂ = a₂ - a₁²;

г) m₁ = 0.

Як ми бачимо, другий центральний момент (в): m₂ - дисперсіявипадкової величини.

Зауважимо ще те, що центральні моменти m_k можна обчислити через начальні моменти a_1, a₂, …, a_k.

Чим більш моментів випадкової величини відомі, тим детальніше уявлення про закон розподілу. В теорії ймовірностей та її застосуванні використовують ще дві числові характеристики випадкової величини, які обчислюються за допомогою третього та четвертого моментів.

Б) Вибіркові дисперсії s ², S ² — це числові характеристики розсіювання значень випадкової вибірки, що являє собою сукупність результатів незалежних повторних спостережень. Визначаються в звичайних сукупностях вимірів. В теорії точності вимірювань їх ще називають дисперсіями вимірів, або просто дисперсіями.

• Дисперсія s ² — це різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:^[3]

.

• Дисперсія S ² є різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і середнього значення добутку двох її елементів:

.

• Вибіркові дисперсії мають такий вигляд:

;