Дистанционная модель для различия

М.Дэйвисон. МНОГОМЕРНОЕ ШКАЛИРОВАНИЕ. МЕТОДЫ НАГЛЯДНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ. МОСКВА ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА 1988. с.14

В приведенном выше определении выражение дистанционная пространственная модель» является намеком на аналогию между понятием сходства в психологии и понятием расстояния в геометрии. Строго говоря, аналогия включает не понятие сходства в психологии, а понятие различия. Параллели между различием и расстоянием просматриваются в аксиомах расстояния. Для того чтобы функция, определенная на парах объектов (а, b), была мерой расстояния, она должна удовлетворять следующим четырем аксиомам:

d(a, b)>0, при условии, что a¹b (1.1)

d(a,a)=0, (1.2)

d(a,b)=d(b,a), (1.3)

d(a,b)+d(b,c) ≥ d(a,c). (1.4)

В применении к понятию различия первая аксиома означает, что или два объекта идентичны друг другу и их различие равно 0, или они в чем-то отличны друг от друга и их различие больше 0. Вторая аксио­ма означает, что объект идентичен сам себе.

В соответствии с третьей аксиомой объект а так же отличается от объекта b, как объект b отли­чается от объекта а.

Хотя выполнение первых трех аксиом интуитивно кажется вполне возможным, никакие качества различия не дают возможности предпо­ложить, будет или не будет выполняться четвертая аксиома, называе­мая аксиомой треугольника (неравенством треугольника). Однако в со­циологии и науках о поведении выполнение трех аксиом из четырех уже неплохо, так что аналогия между различием в психологии и рас­стоянием в геометрии есть.

Более формально дистанционную модель для различий можно опи­сать следующим образом. Пусть d(a,b) —мера различия между объекта­ми a и b. Объектами могут быть автомобили, места работы, кандидаты на должности. Согласно модели меры различия функционально связа­ны с определенным количеством признаков объектов. Предположим, что количество признаков равно К. Если объекты — автомобили, то призна­ками могут быть, например, цена, расход бензина на километр, уровень престижности автомобиля. Если объекты — места работы, то признаками мо­гут служить престижность, заработная плата, условия труда. Пусть x_a,k и x_b,k — значения признака k у объектов a и b соответственно. Например, если объекты — автомобили, а признак — расход бензина, эти значения будут означать расход бензина этих автомобилей. Или если объекты — места работы, а признак k — престижность, то они — престижность работы i и j соответственно.

Согласно обычной формуле евклидова расстояния меры различия связаны со значениями признаков следующей функцией:

(1.5)