Задача 2. (20 б.)

Індивідуальне завдання «Гладкі многовиди» (40 балів)

Задача1.(20 б.)

Довести, що – гладкий многовид, - топологічний простір. Побудувати гомеоморфізм

1. – площина , – напівсфера радіусу 5.

2. – площина , – еліптичний параболоїд.

3. – площина , – параболічний циліндр.

4. – коло радіусу 3, – опуклий шестикутник.

5. – одиничне коло, –еліпс.

6. – сфера, – поверхня куба.

7. –відкритий круг, – одна порожнина двопорожнинного гіперболоїду.

Задача 2. (20 б.)

1. На множині побудовано дві карти: і , де , . Знайти клас гладкості функцій, які задають відображення переходу.

2. Побудувати атлас з двох карт на множині

3. Довести, що множина точок є елементарним гладким многовидом.

4. На множині розглядаються підмножини і . Задано також відображення , , . Які з пар є картами на ?

5. На множині розглядаються підмножини і . Задано також відображення , . Довести, що пари є картами на заданій множині. Взяти деяку точку з множини і знайти її локальні координати в кожній з карт.

6. Дан набор координат тензора типа в системе координат в точке (0,0). Найти его координаты в системе в этой же точке, если эти системы координат связаны уравнениями , .

7. Найти координаты метрического тензора в новой криволинейной системе координат в точке , если .