Канонические уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно рассмотреть, как линию пересечения двух плоскостей:

(1) – это общее уравнение прямой

(2) – параметрические уравнения прямой в пространстве

l, m, n – направляющие коэффициент прямой.

Канонические уравнения прямой.

Выразим t: ; ; или

(3)

= – плоскость параллельная оси OY и

= – плоскость параллельная оси OX, то есть плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости OXZ и OYZ.

Это уравнения двух плоскостей, их пересечение – прямая линия.

Числа l, m, n называются направляющими коэффициентов прямой.

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности:

= 0

Ax + By + Cz + D = 0

N = (A,B,C)

· =

sinφ

sinφ =

Al + Bm + Cn = 0 – прямая

– прямая ||

Уравнение первой степени относительно прямой

A ₁ x ₁ + A ₂ x ₂ = B – прямая на плоскости

Уравнение первой степени относительно прямой

A ₁ x ₁ + A ₂ x ₂ + A ₃ x ₃ = B – плоскость в трехмерном пространстве.

Уравнение первой степени относительно прямой

A ₁ x ₁ + A ₂ x ₂ +... + A_nx_n = B – гиперплоскость в n -мерном пространстве.

Если имеем точку M ₁() в n -мерном пространстве и гиперплоскость A ₁ x ₁ + A ₂ x ₂ +... + A_nx_n – B = 0, то расстояние от точки до гиперплоскости:

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты:

.

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .