Принцип Дирихле и делимость целых чисел

1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

Решение: При делении на 5 возможных 5 разных остатков:

0; 1; 2; 3; 4. Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми остатками; их разность разделится на 5.

2. Доказать, что из любых трех целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

Решение: Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов – чётных

и нечётных чисел – лишь два). Сумма их делится на 2.

3. Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два, разность которых делится на10.

4. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?

Решение: При делении на 3 есть три остатка: 0, 1, 2. Так как

7 = 3 ∙ 2 + 1, то найдутся три числа, дающие один остаток.

5. Доказать, что найдётся число вида 11_{· · ∙} 10 _{∙ · ·} 00, делящееся

на 1998.

Решение: Рассмотрим 1999 чисел:

1, 11, …, 11…111

Среди них есть два с одинаковыми остатками при делении на 1998. Их разность – искомое число.