Тема 4. Розклад вектора за базисом

Базисом лінійного простору є впорядкована множина, яка містить максимально можливу кількість лінійно незалежних векторів цього простору.

Будемо розглядати базиси скінченого лінійного простору , які складаються з одиничних векторів,

Теорема про розклад вектора. Будь-який вектор єдиним чином можна представити як лінійну комбінацію базисних векторів

Числа , , …, ( – альфа -ті) називають координатами вектора в даному базисі і пишуть .

Ця властивість лінійного простору дозволяє представляти просторові (геометричні) вектори у алгебраїчній формі, тобто геометричним об’єктам єдиним чином співставляти алгебраїчні об’єкти в заданому базисі лінійного простору ,

Зауваження. Змінивши базис одержимо інший впорядкований набір чисел, який буде визначати координати того самого вектора в новому базисі:

вектор у базисі ,

причому, якщо , то ; ; .

Наприклад. Розглянемо одновимірний лінійний простір . Виберемо у якості базисного одиничний вектор . Вектор належить простору, , тому . Координата вектора в базисі дорівнює довжині вектора і є додатною, якщо вектор співнапрямлений базисному вектору або від’ємною, якщо вектор протилежно напрямлений вектору :

Якщо змінити базисний вектор , на вектор , , то в новому базисі основна кількісна характеристика вектора , якою є його довжина, зберігається. Знак координати вектора в новому базисі показує чи співпадають напрями векторів, чи ні. Модуль координати визначає в скільки разі довжина вектора відрізняється від довжини базового вектора .

Представлення векторів у координатній формі дає можливість вивчати властивості векторів та дій з векторами методами алгебри.

Далі вектори будемо розглядати як впорядковані набори чисел , які відповідають координатам вектора у заданому базисі лінійного простору .

Приклад 1. Кожний вектор паралельний деякій прямій , , можна розкласти за базисом на цій прямій. Завжди знайдеться таке число , що . Очевидно, що

Приклад 2. Кожний вектор паралельний деякій площині можна розкласти за базисом цієї площини. Прикладом розкладу у фізиці є розклад сили, на дві складові. Якщо базисні вектори неперпендикулярні, то складові розкладу сили можна знайти, побудувавши паралелограм на базисних векторах співнапрямлених з її складовими та , , . Вектор, який дорівнює рівнодійній відповідає діагоналі паралелограма. Складові рівнодійної будуть дорівнювати:

, .

Приклад 3. Кожний вектор можна розкласти за базисом у просторі . Для будь-якого вектора і некомпланарних векторів , , знайдуться такі числа , , , що . Складові , , можна знайти за правилом паралелограма.

В л а с т и в о с т і в е к т о р і в

з а д а н и х у к о о р д и н а т н і й ф о р м і

Розглянемо властивості векторів заданих у координатній формі в одному і тому самому базисі лінійного простору .

1. Рівність векторів. Два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні координати в одному і тому самому базисі лінійного простору : ; . Це випливає з єдиності розкладання вектора за заданим базисом лінійного простору.

2. Паралельність векторів. Два вектори і

колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні: , .

Наприклад. Колінеарними є вектори і , оскільки їх координати пропорційні, ,

, , .

Оскільки коефіцієнт пропорційності , то вектор , тобто вектори і протилежно напрямлені, . Довжина вектора втричі менша за довжину вектора , .

Так як вектори і паралельні їх можна розмістити на одній прямій. Ці вектори є лінійно залежними.

3. Компланарність векторів. Три вектори компланарні , , тоді і тільки тоді, коли визначник, побудований на координатах цих векторів, дорівнює нулю

Наприклад. 1. Для того, щоб з’ясувати, чи є вектори , , компланарними, обчислимо їх визначник,

Вектори , , лежать у одній площині. Ці вектори є лінійно залежними.

2. Чи є вектори , ,

лінійно залежними? Перевіримо ці вектори на компланарність. Складемо визначник,

Вектори , , не лежать у одній площині, тобто вони лінійно незалежні.

Завдання для самостійної роботи

1. Визначити графічно складові вектора , який є рівнодійною сил та . Рівнодійну силу та напрями її складових задати самостійно.

2. Розкласти геометричний вектор , заданий у базисі , , у новому базисі . Вектор та напрями базисних векторів вибрати самостійно. Розклади вектора за базисами зобразити графічно. Записати вектор у координатній формі в кожному з базисів.