Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р (0 < p < 1), и не наступает с вероятностью q, q = 1 – p. Обозначим P_n (m) – вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, тогда случайная величина Х такая, что Р (Х = m) = P_n (m)определяет биномиальное распределение или распределение Бернулли. Вероятности P_n (m) вычисляются по формуле:

где коэффициенты C_n^m называются числом сочетаний из n элементов по m и вычисляют по формуле:

.

(1.17)

Из формулы (1.17) видно, что C_n^m = C_n^{n – m} (m = 1, 2,,,,, n – 1).
По определению полагают также C_n ⁰ = C_nⁿ = 1.
Рассмотрим смысл коэффициентов C_n^m. Пусть заданы n разных элементов. Всевозможные группировки из данных n элементов по m элементов в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, при этом порядок расположения элементов в группировке безразличен, называются сочетаниями из n элементов по m. Например, n = 4, имеем 4 элемента: а, b, c, d. Выпишем сочетания из четырех элементов по два: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Из определения следует, что сочетания ab и ba не различимы. Число таких сочетаний и находится по формуле (1.17), .
Примеры вычисления:
Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз, равна сумме вероятностей:
P_n (0) + P_n (1) +... + P_n (m – 1);
более m раз – сумме вероятностей:
P_n (m + 1) +... + P_n (n).
Часто расчеты упрощаются, если применять свойство вероятностей P_n (m)
P_n (0) + P_n (1) +... + P_n (n) = 1.

Пример 1.10. В урне 10 шаров, из них 3 белых. Вынимают наугад 3 шара. Найти распределения вероятностей случайной величины Х – числа вынутых белых шаров при повторной выборке. При повторной выборке после каждого извлечения шара отмечают его цвет и возвращают шар в урну, снова перемешивая шары.
Решение: P (X = 0) = Р (три раза вынимали черный шар) = 0,7 · 0,7 · 0,7, где 0,7 – вероятность вынуть черный шар из урны. Так как после каждого извлечения шар возвращают в урну и шары перемешивают, то система шаров возвращается в исходное состояние и вероятность вынуть черный шар одинакова при любом извлечении.
P (X = 1) = Р (вынимали один белый шар и два черных) = Р (вынули белый шар первым или вынули белый шар вторым, или вынули белый шар третьим) =
= 0,3 · 0,7 · 0,7+0,7 · 0,3 · 0,7 + 0,7 · 0,7 · 0,3 = 3 · 0,3 · 0,7² = 0,441.
P (X = 2) = Р (вынимали один черный шар и два белых) = Р (вынули черный шар первым или вынули черный шар вторым, или вынули черный шар третьим) =
= 0,7 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,7 · 0,3 + 0,3 · 0,3 · 0,7 = 3 · 0,3² · 0,7 = 0,189.
P (X = 3) = Р (три раза вынимали белый шар) = 0,3 · 0,3 · 0,3.
Распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице 1.2.

Таблица 1.2

1.1.6 Числовые характеристики дискретных случайных величин
Случайные величины могут описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднеквадратическое отклонение).
Математическое ожидание M (X) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа взаимно исключающих друг друга возможных исходов ω₁, ω₂,..., ω _N с вероятностями Р (ω _i) = p_i (i = 1, 2,..., N; p_i = 1), то математическое ожидание случайной величины Х = Х (ω), X (ω _i) = x_i, вычисляют по формуле:

M (X) = xi pi.

(1.18)

Свойства математического ожидания:
1) M (C) = C, где С = const,
2) M (CX) = CM (X),
3) M (X + Y) = M (X) + M (Y) для любых случайных величин Х и Y,
4) M (XY) = M (X) · M (Y), если Х и Y независимы.
Таким образом, если случайная величина Х представлена в виде линейной комбинации величин X ₁, X ₂,..., X_L, то ее математическое ожидание вычисляют по свойству линейности:

.

(1.19)

Если известна таблица распределения дискретной случайной величины, то математическое ожидание любой ее функции может быть вычислено по формуле:

M (f (X)) = f (xi) · pi.

(1.20)

Для характеристики степени разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания M (X) = а вводятся понятия дисперсии D (X) и среднего квадратического отклонения σ(X) по формулам:

D (X) = M (X – a)2;

(1.21)

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:
1) D (C) = 0; σ(C) = 0, где С = const,
2) D (CX) = C ² D (X); σ(CX) = | C |σ(X),
3) D (X + Y) = D (X) + D (Y), если Х и Y независимы.
Дисперсия для дискретной случайной величины Х может быть найдена по формуле:

D (X) = M (X 2) – a 2 = xi 2 pi – a 2.

(1.22)

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам:

где р – вероятность того, что событие А произойдет, q – вероятность того, что событие А не произойдет в каждом из независимых испытаний.