Формула Байеса

Предположим, что испытание проведено и событие В при этом наступило. Проанализируем, как изменятся при этом вероятности гипотез.

По теореме умножения вероятностей имеем

или .

Отсюда получим

,где

Полученная формула называется формулой Байеса, или формулой гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие В наступило в результате проведенного испытания, то есть найти новые условные вероятности гипотез P_B(A_i), которые еще называют апостериорными.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события В, то есть по мере получения новой информации, можно проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать, например, управленческие решения в экономике.

1.8 Повторные независимые испытания. Вероятность наступления события при независимых испытаниях (формула Бернулли). Наивероятнейшая частота.

Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события А от испытания к испытанию не меняется. Такие испытания называются независимыми. В противном случае испытания зависимы. Вероятность наступления события А при каждом испытании обозначим р, то есть P(A)=p, тогда .

При n независимых испытаниях событие А практически может наступить любое число раз (m раз) в разных комбинациях с противоположным событием (которое может наступить (n-m) раз).

Рассмотрим простейшую комбинацию:

, то есть событие А наступает m раз подряд, а затем раз наступает событие . Используя теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

Различных комбинаций, в которых событие А наступает m раз, всего будет , вероятность наступления каждой из этих комбинаций одинаковая и равна .

Вероятность наступления события А m раз при n испытаниях символически записывается так: .

Итак,

Таким образом, .

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Наивероятнейшая частота

Частота m₀ называется наивероятнейшая частота, если выполняются одновременно 2 условия

Р_m0,n (A) ≥ Р_{m0 - 1,n} (A)

Р_m0,n (A) ≥ Р_{m0 + 1,n} (A)

1) *p^m0*q^n-m0≥ *p^m0-1*q^n-m0+1

2) *p^m0*q^n-m0≥ *p^m0+1*q^n-m0-1

Разделим 1 на p^m0-1q^n-m0, a 2 на p^m0 q^n-m0-1

p≥ q

≥ p

1) p≥ q

2) q≥ p

Домножаем 1 на , 2 на

p≥ q

2) q≥ p

p≥ q

≥

1) ≥ домножаем на m₀

2) ≥ домножаем на m₀+1

1)p≥ домножаем на (n-m₀+1)

2) ≥ p домножаем на (n-m₀)

1) (n-m₀+1)p≥qm₀

2) (m₀+1)q≥(n-m₀)p

1) np-m₀p+p-qm₀≥0

2) m₀q+q-np+m₀≥0

1) np+p-m₀(p+q)≥0

2)q-np+m₀(p+q)≥0

np+p≥m₀

m₀≥np-q

np-q≤ m₀ ≤ np+p формула наивероятнейшей частоты

1.9 Теорема Пуассона

Пусть событие А - маловероятное, тогда вероятность его наступления при каждом испытании близка к нулю. В этом случае даже при большом числе испытаний по небольшой величине произведения np расчеты вероятностей по формуле Муавра - Лапласа оказываются недостаточно точными. В таких случаях следует применять другую асимптотическую формулу - формулу Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А при каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np остается небольшим, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна

, где

Доказательство. Действительно, пусть проводится n независимых испытаний, в результате которых событие А наступает с постоянной вероятностью р при каждом испытании. Вероятность наступления события А m раз при этих испытаниях найдем по формуле Бернулли

По условию теоремы a=np, отсюда p=a/n.

Тогда .

Запишем это равенство в таком виде

Так как по условию теоремы n достаточно велико, то множители приближенно можно считать равными 1. Тогда, заменяя их в предыдущем равенстве единицей, получим приближенное значение , а именно:

.

Известно, что (следствие из второго замечательного предела). Тогда при достаточно больших n имеем . Используя этот результат, получаем асимптотическую формулу расчета вероятности , называемую формулой Пуассона

, где

Вычисления P_m,n(A) по формуле Пуассона дают незначительную погрешность при выполнении следующего условия:a=np≤10. Для упрощения расчетов по рассматриваемой формуле составлена таблица ее значений (прил. 3).

1.10 Локальная теорема Муавра-Лапласа

Поэтому, когда число испытаний велико, для вычисления вероятности P_m,n(A) применять формулу Бернулли нецелесообразно. Нужны формулы, по которым достаточно точные значения вероятностей P_m,n (A) находились бы при сравнительно несложных вычислениях. Такими формулами являются формулы Муавра - Лапласа и Пуассона. Эти формулы являются асимптотическими.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна р, причем отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность P_m,n (A) того, что при n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна: ,где функция определяется равенством , .

Теорему рассмотрим без доказательства, так как строгое доказательство ее выходит за рамки математического аппарата, который положен в основу настоящего пособия.

Итак, , где .

С возрастанием n относительная точность вычисления вероятностей , получаемых по формуле Муавра - Лапласа, возрастает. Если выполняется условие , то вычисления по рассматриваемой формуле дают приемлемую точность.

Для упрощения расчетов по формуле Муавра - Лапласа составлена таблица значений функции (прил. 1). Пользуясь данной таблицей, необходимо иметь в виду свойства этой функции, а именно:

1) функция - четная, то есть . Поэтому в таблице приведены значения функции только для положительных значений аргумента;

2) функция - монотонно убывающая при положительных значениях х. Уже при х=5 Следовательно, при можно считать, что . Поэтому таблица значений функции приводится только для .