Функциональный ряд

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

— n-ная частичная сумма.

[править] Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

[править] Необходимое условие равномерной сходимости

[править] Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определенных на множестве V, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ε > 0 существовал номер N = N (ε), такой, что при всех n, m больше либо равных N одновременно для всех выполнялось неравенство

[править] Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

[править] Признаки равномерной сходимости

[править] Признак сравнения

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд сходится равномерно.

2.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость

[править] Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и

2. Частичные суммы ряда равномерно ограничены.

[править] Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .

2. Ряд равномерно сходится.

2 [править]Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

[править] Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд

функция непрерывна в точке

Тогда непрерывна в .

[править] Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

[править] Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

на отрезке

Тогда — непрерывно дифференцируема на , на

Теорема о почленном дифференцировании.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

равномерно сходится на отрезке

Тогда — непрерывно дифференцируема на , на